3、设两个6次置换0= 解：=123456 516234 、.5分 61 4、设G是群，H≤G,若G=aHUa,HU…是群G关于H的左陪集分解，且有 aH=Ha,i=l,2,.,证明H是G的正规子群。 证明：对任意的x∈G=aHUa,HU…,必有唯一的i使得x∈a,H=Ha,所以 xH=a,H,H=Ha,所以xH=Hx,所以H是G的正规子群。.I0分 三、证明题（每小题10分，共10分） 证明数集Z√-3]={a+b√-3a,b∈Z关于数的加法与乘法构成一个有单位元 的交换环，其中√3表示√5i,i是虚数单位，即2=-1。 证明：1)任给a=a+b-3,B=c+dV-3∈Z[V-3],a,b,c,d∈Z,则 a+B=(a+c)+(b+d)v3EZ[v3] 邱=(ac-3bd)+(ad+bc)√-3∈Z√-31 所以，数的加法与乘法是Z√-3]的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[√-3]的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+03∈Z[],且对任意的a=a+b√3∈ZIV3],有0+a= a+0=a,所以0为Z[V-3]的零元。2分 4)对任意的a=a+b3∈Z[-3],有-a=-a-b√3=（←a)+(b)3∈ Z[V3],且a+()=0,所以，a=a+b3∈Z[3]的负元为-a)+(b)√3∈ ZV-3]。2分3、设两个 6 次置换 1 2 3 4 5 6 3 2 1 6 5 4    =     ， 1 2 3 4 5 6 2 4 5 6 1 3    =     ，求 1  − 。 解： 1 1 2 3 4 5 6 5 1 6 2 3 4  −   =     ，......5 分 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3 2 1 6 5 4 5 1 6 2 3 4 5 3 4 2 1 6 −      = =           。......5 分 4、设 G 是群， H G ，若 G a H a H = 1 2 是群 G 关于 H 的左陪集分解，且有 aiH=Hai，i=1, 2, …，证明 H 是 G 的正规子群。 证明：对任意的 1 2 x G a H a H  = ，必有唯一的 i 使得 i i x a H Ha  = ，所以 i xH a H = ， Hx Ha = i ，所以 xH=Hx，所以 H 是 G 的正规子群。......10 分 三、证明题（每小题 10 分，共 10 分） 证明数集 Z[ −3 ] = {a + b −3 | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单位元 的交换环，其中 −3 表示 3 i，i 是虚数单位，即 i 2=-1。 证明：1) 任给 α = a + b −3 , β = c + d −3 ∈Z[ −3 ]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d) −3 ∈Z[ −3 ] αβ = (ac - 3bd) + (ad + bc) −3 ∈Z[ −3 ] 所以，数的加法与乘法是 Z[ −3 ]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[ −3 ]的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0 −3 ∈Z[ −3 ]，且对任意的 α = a + b −3 ∈Z[ −3 ]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[ −3 ]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + b −3 ∈Z[ −3 ]，有-α = -a – b −3 = (-a) + (-b) −3 ∈ Z[ −3 ]，且 α + (-α) = 0，所以，α = a + b −3 ∈Z[ −3 ]的负元为(-a) + (-b) −3 ∈ Z[ −3 ]。......2 分