5)因为1=1+0V-3∈Z[√-3]，且对任意的a=a+b√3eZ[-3],有la=al =a,所以数1为Z[√-3]的单位元。2分 四、探索题（每小题10分，共10分） 设R2x2是实数域上的2阶全矩阵环（由R上所有2阶方阵构成），设 证明N是R2x2的左理想。 明：首先，R0上的零元为零矩阵008元素4上 的负元为 a21a22 -A= -411-a12 -a2 对 任 意的 有 a-A=(60-{日8-8日0eN,所以N是R俗子加群.-6分 又对任意的a= a O∈N,A= ∈Ra,有Aa= a1a+a12b（ b 0 421a+ab( 所以N是R2x2的左理想。.4分 五、应用题（每小题10分，共10分） 魔方(3阶魔方)是由26个小正方体组成的去心 大正方体（去除了中心小正方体），共有6个面，每个 面上有9个小块，共54个小块。 一个简单的事实是在不对魔方中间层进行转 动的情况下，无论怎样转动魔方，各个面的中心块总 是固定的。把魔方的六个外表面用f、b、r、1、u、d 来表示，即f表示前表面，b后表面、r右表面、1左 表面、u上表面、d下表面，并将这6个字母标在相应面的中心块上。 面对魔方的f面，将其顺时针旋转90°的操作记为F,显然f面的顺时针旋转180° 和逆时针旋转90°分别为F2和F。同样可以分别用R、L、U、D、B来表示其它相应5 个面的顺时针旋转90°的操作。魔方中间层的旋转可以看成旁边两层同时向另一个方向5) 因为 1 = 1 + 0 −3 ∈Z[ −3 ]，且对任意的 α = a + b −3 ∈Z[ −3 ]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[ −3 ]的单位元。......2 分 四、探索题（每小题 10 分，共 10 分） 设 R2×2 是实数域上的 2 阶全矩阵环(由 R 上所有 2 阶方阵构成)，设 0 , 0 a N a b R b       =            ，证明 N 是 R2×2 的左理想。 证明：首先，R2×2 上的零元为零矩阵 0 0 0 0 O   =     ，元素 11 12 21 22 a a A a a   =     的负元为 11 12 21 22 a a A a a   − − − =     − − 。 对 任 意 的 0 0 0 0 a c N N b d       =  =          ， ， 有 0 0 0 0 0 0 a c a c N b d b d         − − = − =              − ，所以 N 是 R2×2 的子加群。......6 分 又对任意的 11 12 2 2 21 22 0 0 a a a N A R b a a       =  =          ， ，有 11 12 21 22 0 0 a a a b A N a a a b    + =      + ， 所以 N 是 R2×2 的左理想。......4 分 五、应用题（每小题 10 分，共 10 分） 魔方(3 阶魔方)是由 26 个小正方体组成的去心 大正方体(去除了中心小正方体)，共有 6 个面，每个 面上有 9 个小块，共 54 个小块。 一个简单的事实是在不对魔方中间层进行转 动的情况下，无论怎样转动魔方，各个面的中心块总 是固定的。把魔方的六个外表面用 f、b、r、l、u、d 来表示，即 f 表示前表面，b 后表面、r 右表面、l 左 表面、u 上表面、d 下表面，并将这 6 个字母标在相应面的中心块上。 面对魔方的 f 面，将其顺时针旋转 90º的操作记为 F，显然 f 面的顺时针旋转 180º 和逆时针旋转 90º分别为 F 2 和 F -1。同样可以分别用 R、L、U、D、B 来表示其它相应 5 个面的顺时针旋转 90º的操作。魔方中间层的旋转可以看成旁边两层同时向另一个方向