20.证明R的任意子集A作为R2的子集是L可测的并且m(A)=0 21.在区间[0,中作出一个闭集F,使得F不包含任何有理数 并且mF>0 22.在直线上作一个无界的开集G使得m(G)=1 23.设E是[,中的有理数的全体.{1…k}是k个开区间使 得Ec∪1证明∑|21 24.设A是[0,1]中的 Lebesgue可测集,mA4>0.证明对任意 0<a<m(A),存在 Lebesgue可测集EcA,使得mE=a 提示:先证明函数f(x)=m([0,x]A)是[O,1]上的连续函数 25.证明§23推论7的结论 26.证明R”上的 Lebesgue测度是平移不变的,即对任意 Lebesgue可测集A和 x∈R",成 n(o+ A)=m(A), 其中x0+A={x0+x:x∈A} 27.设A是R中的L可测集,a∈R.证明aA是L可测的并且 (aA)=aIm 其中aA={ax:x∈A 28.设{n}是有理数的全体令 G=UC r 证明对任意闭集FcR有m(G△F)>0 29.设AcR,m(A)>0.证明存在x,y∈A,使得x-y不是有理数 30.设AcR",m(A)>0.证明存在x∈A,使得对任意r>0, m(A∩U(x,r)>0. 提示:先对A是有界闭集的情形证明,再利用§23推论7 31.设Ac[-1,1,m(A)>1.证明存在A的可测子集E,使得E关于原点对称并 且m(E)>0.提示:考虑A∩(-A) 32.设0<c<1.在[0,中作出一个无内点的闭集F,使得m(F)=c 提示:仿照 Cantor集的构造方法 33设E是R中的L可测集,a∈R,d>0.当x∈(-6,6)时,a+x和a-x65 20. 证明 1 R 的任意子集 A 作为 2 R 的子集是 L 可测的并且 m(A) = 0. 21. 在区间 [0,1] 中作出一个闭集 F , 使 得 F 不包含任何有理数 , 并且 mF > 0. 22. 在直线上作一个无界的开集G 使得 m(G) = 1. 23. 设 E 是 [0,1] 中的有理数的全体 . { , , } 1 k I " I 是 k 个开区间使 得 . 1 ∪ k i i E I = ⊂ 证明 1. 1 ∑ ≥ = k i i I 24. 设 A 是 [0,1] 中 的 Lebesgue 可测集 , mA > 0. 证明对任意 0 < a < m(A), 存在 Lebesgue 可测集 E ⊂ A, 使得 mE = a. 提示: 先证明函数 f (x) = m([0, x]∩ A) 是[0, 1]上的连续函数. 25. 证明§2.3 推论.7 的结论. 26. 证明 n R 上的 Lebesgue 测度是平移不变的, 即对任意 Lebesgue 可测集 A 和 x0 ∈ , n R 成立 ( ) ( ), m x0 + A = m A 其中 { : }. x0 + A = x0 + x x ∈ A 27. 设 A 是 n R 中的 L 可测集, a ∈ . 1 R 证明 aA 是 L 可测的并且 m(aA) = a m(A). 其中 aA = {ax : x ∈ A}. 28. 设{ }nr 是有理数的全体. 令 ). 1 , 1 ( 1 ∪ 2 2 ∞ = = − + n n n n r n G r 证明对任意闭集 F ⊂ 1 R 有 m(G∆F) > 0. 29. 设 A ⊂ , 1 R m(A) > 0. 证明存在 x, y ∈ A, 使得 x − y 不是有理数. 30. 设 A ⊂ , n R m(A) > 0. 证明存在 x ∈ A, 使得对任意 r > 0, m(A∩U(x,r)) > 0. 提示: 先对 A 是有界闭集的情形证明, 再利用§2.3 推论.7. 31. 设 A ⊂ [−1,1], m(A) > 1. 证明存在 A 的可测子集 E , 使得 E 关于原点对称并 且 m(E) > 0. 提示: 考虑 A∩ (−A). 32. 设 0 < c < 1. 在 [0,1] 中作出一个无内点的闭集 F, 使 得 m(F) = c. 提示: 仿照 Cantor 集的构造方法. 33. 设 E 是 1 R 中的 L 可测集, a ∈ , 1 R δ > 0. 当 x ∈ (−δ ,δ ) 时, a + x 和 a − x