教学内容 曲线凹凸的定义 问题如何研究曲线的弯曲方向? y=f(x) y=f(x) 图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方 定义: 设f(x)在(a,b)内连续,如果对(a,b)内任意两点x1,x2, 恒有f( +x2、f(x1)+f(x2) 那末称f(x)在(a,b) 2 内的图形是凹的 如果对(a,b内任意两点x1,x2, 恒有f( x1+x2、、f(x1)+f(x2) ,那末称f(x)在(a,b) 内的图形是凸的; 如果f(x)在[a,b内连续,且在(a,b)内的图形是凹(或凸)的, 那末称f(x)在{a,b内的图形是叫或凸)的; 曲线凹凸的判定 =f(x) f(x)递增y>0 f(x)递减y”<0 定理1 如果f(x)在[anb]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,若在(a,b)内 (1)f"(x)>0,则f(x)在[ab]上的图形是凹的 (2)∫"(x)<0,则f(x)在[a,b上的图形是凸的 例1:判断曲线y=x3的凹凸性2 教 学 内 容 一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方 定义： ; , ( ) ( , ) 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( ) ( , ) , ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 内的图形是凹的 恒有 那末称 在 设 在 内连续 如果对 内任意两点 f x a b x x f x f x f f x a b a b x x +  + ; , ( ) ( , ) 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 内的图形是凸的 恒有 那末称 在 如果对 内任意两点 f x a b x x f x f x f a b x x +  + ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) ( ) , 那末称 在 内的图形是凹 或凸 的 如果 在 内连续 且在 内的图形是凹 或凸 的 f x a b f x a b a b 二、曲线凹凸的判定 定理 1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; ( ) [ , ] , ( , ) , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 如果 在 上连续 在 内具有二阶导数 若在 内 f x f x a b f x f x a b f x a b a b a b     例 1： . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 x y o y = f (x) 1 x 2 x x y o 1 x 2 x y = f (x) f (x) 递增 x y o y = f (x) a b A B y   0 x y o y = f (x) a b B A f (x) 递减 y   0