秦方等：基于均匀化理论的复合材料安定性分析方法 ·1561 A,=[(C,I)1(C,T2(C,I4(C,I5(C,I6] 时普遍采用均布在边界上的位移载荷，这是一种 L-T/V20Yr 均匀边界条件，符合材料实际承载后的微观变形 (25) 特性，同时其加载计算也较简便.本小节将研究微 N=CT3(C2T3…(CT3 (26) 观尺度计算结果在转换为宏观应力场时的一些问 题和改进方法.下面以研究平面应力状态下复合 w=∑co (27) 材料面内性能为例开展.取该材料边长为1的RVE 单元，在微观层面的边界条件为均匀位移约束，即 ur LTZr/V2oYn (28) 互相独立的、4，图1为加载条件示意图 其中的L定义如下： 「2 1/W23/W2 L= (29) 最终等式约束变为： 了G rArur+Nxr-0w=0 (30) 接下来处理优化问题中的不等式约束，将式 (20)代入(17)中的不等式得： 1 2+(}++}+(}+}2+(}2≤2y2 图1RVE边界条件示意图 (31) Fig.1 Boundary condition of RVE 同样，式中严表示应力张量y,的第m个组件 假设RVE的刚度矩阵为K,对于关心的y向 结合式(23)和(28)，不等式约束(31)转换为欧 应力应变关系有如下关系式： 几里得球约束的形式： (x=k118x+k128y (34) zz=,2≤1 (32) σy=k21ex+k22Ey 其中符号为欧几里得范数.综上，对于一个载荷 所研究的面内性能对应了两向独立载荷，即 点的工况，极限求解的优化问题处理为： 载荷域角点Nv=4的工况.结合均匀化理论，载荷 max o 域的顶点在微观位移域和宏观应力域的对应关 st∑A,+N,-aw=0 (33) 系为表1.其中α为弹性或极限安定计算的载荷 Ilul2≤1，r=1,…,NG 系数. 此规划问题有(6NG+1)个变量和(NG+3Nk)个 表1由微观位移载荷城推导宏观应力域 约束条件(NK为结构节点总数目).相比处理变形 Table 1 Derivation of macro-scale stress domain from micro-scale 之前的问题规模得到了明显的缩减.同时，目标函 displacement boundary 数位于等式约束而非先前的不等式约束之中，作 微观位移载荷域 宏观应力域 为圆锥二次优化问题可以得到较高效的求解效率 点 x方向y方向 x方向 y方向 3尺度转换研究 P 0 0 0 0 P2 0 ak114Ⅱ ak4Ⅱ 对具有微观结构特征的复合材料进行分析 aily auy a(kuux+krzuy)/1 a(k2ux+k2zuy)/l 时，往往需要微观宏观两个尺度水平的研究.即在 P 0 ak24,Ⅱ akzzu/l 微观层面对RVE进行承载分析得到微观特性，再 通过尺度转换到宏观层面用以指导设计和校核的 图2展示了微观尺度呈矩形的位移载荷域及 实践.微观分析时RVE的边界条件有均匀边界条 对应到宏观的，表现为平行四边形的应力域 件和周期性边界条件两种设定形式，均可通过特 不同于极限分析和弹性分析，安定分析的载 定的位移或力载荷来实现. 荷域结果为允许载荷的变化范围，是独立载荷组 对于常见的周期性复合材料，进行微观分析 合构成的多维载荷空间.这些独立的载荷可称之Ar = [ (CrT) 1 (CrT) 2 (CrT) 4 (CrT) 5 (CrT) 6 ] L −T / √ 2σY,r （25） N = [ (C1T) 3 (C2T) 3 ··· ( CNG T )3 ] （26） w = ∑NG i=1 Crσ E r （27） ur = L TZr/ √ 2σY,r （28） 其中的 L 定义如下: L =   √ 2 1/ √ 2 √ 3/ √ 2 1 1 1   （29） 最终等式约束变为： ∑NG r=1 Arur + Nxr −αw = 0 （30） 接下来处理优化问题中的不等式约束，将式 （20）代入（17）中的不等式得： ( ν 1 r )2 + ( ν 2 r )2 + ( ν 1 r +ν 2 r )2 + ( ν 4 r )2 + ( ν 5 r )2 + ( ν 6 r )2 ⩽ 2σY,r 2 （31） v m 同样，式中 r 表示应力张量 νr 的第 m 个组件. 结合式（23）和（28），不等式约束（31）转换为欧 几里得球约束的形式： L TZr 2 = ur 2 ⩽ 1 （32） 其中‖∙‖符号为欧几里得范数. 综上，对于一个载荷 点的工况，极限求解的优化问题处理为： max α s.t. ∑NG r=1 Arur + Nxr −αw = 0 ∥ur∥ 2 ⩽ 1,r = 1,··· ,NG （33） 此规划问题有（6NG+1）个变量和（NG+3NK）个 约束条件（NK 为结构节点总数目）. 相比处理变形 之前的问题规模得到了明显的缩减. 同时，目标函 数位于等式约束而非先前的不等式约束之中，作 为圆锥二次优化问题可以得到较高效的求解效率. 3    尺度转换研究 对具有微观结构特征的复合材料进行分析 时，往往需要微观宏观两个尺度水平的研究. 即在 微观层面对 RVE 进行承载分析得到微观特性，再 通过尺度转换到宏观层面用以指导设计和校核的 实践. 微观分析时 RVE 的边界条件有均匀边界条 件和周期性边界条件两种设定形式，均可通过特 定的位移或力载荷来实现. 对于常见的周期性复合材料，进行微观分析 时普遍采用均布在边界上的位移载荷，这是一种 均匀边界条件，符合材料实际承载后的微观变形 特性，同时其加载计算也较简便. 本小节将研究微 观尺度计算结果在转换为宏观应力场时的一些问 题和改进方法. 下面以研究平面应力状态下复合 材料面内性能为例开展. 取该材料边长为 l 的 RVE 单元，在微观层面的边界条件为均匀位移约束，即 互相独立的 ux、uy，图 1 为加载条件示意图. 假设 RVE 的刚度矩阵为 K，对于关心的 xy 向 应力应变关系有如下关系式： { σx = k11εx +k12εy σy = k21εx +k22εy （34） 所研究的面内性能对应了两向独立载荷，即 载荷域角点 NV=4 的工况. 结合均匀化理论，载荷 域的顶点在微观位移域和宏观应力域的对应关 系为表 1. 其中 α 为弹性或极限安定计算的载荷 系数. 图 2 展示了微观尺度呈矩形的位移载荷域及 对应到宏观的，表现为平行四边形的应力域. 不同于极限分析和弹性分析，安定分析的载 荷域结果为允许载荷的变化范围，是独立载荷组 合构成的多维载荷空间. 这些独立的载荷可称之 表 1    由微观位移载荷域推导宏观应力域 Table 1    Derivation of macro-scale stress domain from micro-scale displacement boundary 点 微观位移载荷域 宏观应力域 x方向 y方向 x方向 y方向 P1 0 0 0 0 P2 αux 0 αk11ux /l αk21ux /l P3 αux αuy α ( k11ux +k12uy ) /l α ( k21ux +k22uy ) /l P4 0 αuy αk12uy /l αk22uy /l uy ux l l 图 1    RVE 边界条件示意图 Fig.1    Boundary condition of RVE 秦    方等： 基于均匀化理论的复合材料安定性分析方法 · 1561 ·