1562 工程科学学报，第41卷，第12期 (a) (b) P 图2微观位移载荷域()和对应宏观应力域(b)对应示意图 Fig.2 Displacement load in micro-scale (a)and the corresponding stress domain in macro-scale (b) 为安定载荷域的基，其对应的应力状态为安定容 标系下为矩形形式的容许应力载荷域 许应力域.由图2各载荷角点的对应关系可知，该 f(ux,uy)=sulux+si2luy 宏观应力域虽然绘制在正应力为基的坐标系上， (35) 但它实际表达含义的基仍然是由PP4点的载荷决 g(ux,uy)=s21lux+s22luy 定，而并非沿坐标轴方向的正应力.对于宏观结构 来说，图中的虚线是可以满足安定条件的应力响 1g4,,) 应曲线，一旦加载路径对应的应力超出平行四边 形区域，则不能确定是否满足安定条件 这一特性是计算结果进入工程应用的障碍 在结构设计以及校核检修之中，即便得到受载后 应力的上下限范围，也无法通过此宏观容许应力 f4,4,) 域来判定结构是否满足安定条件.若使用加载路 P 径来判定，就失去了直接法分析的优势.这根本原 图3以人g函数为基的微观位移载荷域 因是宏观容许应力域的基和实际需求不符合.在 Fig.3 Micro-scale displacement load with function f.g as bases 这种情况之下，若能改变宏观容许应力域的基为 4 数值算例 单向应力，则结构安定与否的判定将清晰明了，计 算结果将具有明确的实践指导价值.根据此目的， 4.1算例1 修改微观尺度的位移边界条件，对应关系见表2， 算例1的目的是数值验证论文所采用的极限 表中S为RVE单元柔度矩阵 安定优化算法及求解工具.该程序采用了上文的 安定列式及转换为二次圆锥优化的数学方法，所 表2由宏观应力域推导对应的微观位移载荷域 结合的商业有限元软件为Ansys..有限元软件的作 Table 2 Derivation of micro-scale displacement boundary from macro-scale stress domain 用是计算模型在单位载荷下的纯弹性应力响应 宏观应力域 微观位移载荷域 弹性分析之后，提取有限元模型的单元、节点、材 x方向y方向 x方向 方向 料、边界条件及应力响应数据之后，所有的计算均 Pr 0 0 0 0 在Matlab环境下的以Gurobi为核心求解器的自制 E 0 SuEl 5212l 软件平台中进行 P3 5+52 S21El什s2zl 算例模型为承受两向拉力的圆孔方板模型， 0 古 s122l S2l 它是极限安定相关论文中最常用的对比模型，其 几何材料参数见表3.模型载荷示意图以及安定计 将表2中的位移单位载荷绘制到以f(ux,y)和 算结果见图4. g(4,4,)为基的坐标系中，见图3.此载荷域符合一 图中附加作对比的相关曲线来自文献3均，它 般极限安定计算的需求，单位载荷f(ux,4)和g(山x,4) 们和本文计算结果数值相近，趋势相同.数值误差 的定义见式(34).此单位载荷即为所需的，可以在 可认为是有限元软件单元及网格不同带来的差 尺度转换之后，得到以各向应力为基的，在应力坐 异.结果曲线的吻合从数值上验证优化求解算法为安定载荷域的基，其对应的应力状态为安定容 许应力域. 由图 2 各载荷角点的对应关系可知，该 宏观应力域虽然绘制在正应力为基的坐标系上， 但它实际表达含义的基仍然是由 P2P4 点的载荷决 定，而并非沿坐标轴方向的正应力. 对于宏观结构 来说，图中的虚线是可以满足安定条件的应力响 应曲线，一旦加载路径对应的应力超出平行四边 形区域，则不能确定是否满足安定条件. 这一特性是计算结果进入工程应用的障碍. 在结构设计以及校核检修之中，即便得到受载后 应力的上下限范围，也无法通过此宏观容许应力 域来判定结构是否满足安定条件. 若使用加载路 径来判定，就失去了直接法分析的优势. 这根本原 因是宏观容许应力域的基和实际需求不符合. 在 这种情况之下，若能改变宏观容许应力域的基为 单向应力，则结构安定与否的判定将清晰明了，计 算结果将具有明确的实践指导价值. 根据此目的， 修改微观尺度的位移边界条件，对应关系见表 2， 表中 S 为 RVE 单元柔度矩阵. f ( ux,uy ) g ( ux,uy ) f ( ux,uy ) g ( ux,uy ) 将表 2 中的位移单位载荷绘制到以 和 为基的坐标系中，见图 3. 此载荷域符合一 般极限安定计算的需求，单位载荷 和 的定义见式（34）. 此单位载荷即为所需的，可以在 尺度转换之后，得到以各向应力为基的，在应力坐 标系下为矩形形式的容许应力载荷域.    f ( ux,uy ) = s11lux + s12luy g ( ux,uy ) = s21lux + s22luy （35） 4    数值算例 4.1    算例 1 算例 1 的目的是数值验证论文所采用的极限 安定优化算法及求解工具. 该程序采用了上文的 安定列式及转换为二次圆锥优化的数学方法，所 结合的商业有限元软件为 Ansys. 有限元软件的作 用是计算模型在单位载荷下的纯弹性应力响应. 弹性分析之后，提取有限元模型的单元、节点、材 料、边界条件及应力响应数据之后，所有的计算均 在 Matlab 环境下的以 Gurobi 为核心求解器的自制 软件平台中进行. 算例模型为承受两向拉力的圆孔方板模型， 它是极限安定相关论文中最常用的对比模型，其 几何材料参数见表 3. 模型载荷示意图以及安定计 算结果见图 4. 图中附加作对比的相关曲线来自文献[13−15] ，它 们和本文计算结果数值相近，趋势相同. 数值误差 可认为是有限元软件单元及网格不同带来的差 异. 结果曲线的吻合从数值上验证优化求解算法 表 2    由宏观应力域推导对应的微观位移载荷域 Table 2    Derivation  of  micro-scale  displacement  boundary  from macro-scale stress domain 点 宏观应力域 微观位移载荷域 x方向 y方向 x方向 y方向 P1 0 0 0 0 P2 Σ1 0 s11Σ1 l s21Σ1 l P3 Σ1 Σ2 s11Σ1 l+s12Σ2 l s21Σ1 l+s22Σ2 l P4 0 Σ2 s12Σ2 l s22Σ2 l (a) uy ux P4 P3 P1 P2 (b) Σy Σx P4 P3 P1 P2 图 2    微观位移载荷域 (a) 和对应宏观应力域 (b) 对应示意图 Fig.2    Displacement load in micro-scale (a) and the corresponding stress domain in macro-scale (b) g(ux , uy ) f(ux , uy ) P4 P3 P1 P2 图 3    以 f、g 函数为基的微观位移载荷域 Fig.3    Micro-scale displacement load with function f, g as bases · 1562 · 工程科学学报，第 41 卷，第 12 期