AB所作的功.导出空间曲线上的第二型曲线积分 「P(x,y:)+Q(xy)+R(xy= 第二型曲线积分的性质 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题与我们以前讨论过的积 分相比,除多了一层方向性的考虑外,其余与以前的积累问题是一样的,还是用 Riemma的思想建立的积分.因此,第二型曲线积分具有(R)积分的共性,如线性、关 于函数或积分曲线的可加性但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性,这是 由于一方面向量值函数不能比较大小,另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段 方向与向量方向之间的夹角有关 二.第二型曲线积分的计算 曲线的自然方向:设曲线L由参数式给出.称参数增大时曲线相应的方向为自然方向 设L为光滑或按段光滑曲线,L:x=(1),y=v(1),a≤t≤B A(o(a),va),B(0(B),v(B),函数P(x,y)和Q(x,y)在L上连续,则沿L的自 然方向(即从点A到点B的方向)有 「Pxy)+x,y)d=Po.yo)如()+g0.o)kyot(证略) 例1计算积分「xax+(y-x)d,L的两个端点为A(1,1),B(2,3)积分从点A 到点B或闭合,路径为 i>直线段AB i>抛物线y=2(x-1)2+1 ⅲi)A(1,1)→>D(2,1)→>B(2,3)→A(1,1),折线闭合路径 例2计算积分x+y,这里L i>沿抛物线y=2x2从点00,0)到点B(1,2) ⅱ>沿直线y=2x从点0(0,0)到点B(1,2) i)沿折线闭合路径00,0)→>A(1,0)→B(1,2)→>00,0) 例3计算第二型曲线积分I=xya+(x-y)d+x2d,其中L是螺旋线 x= a cos t,y= asin t,z=bt,从t=0到t=丌的一段 例4求在力场F(y,-x,x+y+z)作用下, i>质点由点A(a,0,0)沿螺旋线到点B(a,0,2mb)所作的功,其中 x= a cos t,y= a sin t,z=bt,(0≤t≤2x) i>质点由点A(a,0,0)沿直线L2到点B(a,0,2mb)所作的功AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分 . ∫ + + AB ),,(),,(),,( dzzyxRdyzyxQdxzyxP 4. 第二型曲线积分的性质: 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积 分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用 Riemma 的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关 于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是 由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段 方向与向量方向之间的夹角有关. 二. 第二型曲线积分的计算: 曲线的自然方向: 设曲线 L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向. 设 L 为光滑或按段光滑曲线 , L : = ϕ =ψ , )( , )( α ≤ ttytx ≤ β . A( ) ϕ α ψ α)( , )( , B( ) ϕ β ψ β)( , )( ; 函数 和 在 L 上连续, 则沿 L 的自 然方向( 即从点 A 到点 B 的方向)有 yxP ),( yxQ ),( [ ] ( )( ) ∫ ∫ + = ′ + ′ L dttttQtttPdyyxQdxyxP β α ),(),( ψψϕϕψϕ )()( , )()()( , )( . (证略) 例 1 计算积分 , L 的两个端点为 A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点 A 到点 B 或闭合, 路径为 ∫ −+ L )( dyxyxydx ⅰ> 直线段 AB ⅱ> 抛物线 1)1(2 ; 2 xy +−= ⅲ> A( 1, 1 )→D( 2 , 1 ) → B( 2 , 3 ) → A( 1, 1 ), 折线闭合路径 . 例 2 计算积分 , 这里 L : ∫ + L ydxxdy ⅰ> 沿抛物线 从点 O( 0 , 0 )到点 B( 1 , 2 ); 2 = 2xy ⅱ> 沿直线 = 2xy 从点 O( 0 , 0 )到点 B( 1 , 2 ); ⅲ> 沿折线闭合路径 O(0,0) →A(1,0 ) →B(1,2 ) → O(0,0). 例 3 计算第二型曲线积分 I = ∫ +−+ , 其中 L 是螺旋线 L dzxdyyxxydx 2 )( = = , sin , cos = btztaytax , 从t = 0 到t = π 的一段 . 例 4 求在力场 ++− zyxxyF ) , , ( 作用下, ⅰ> 质点由点 A a ) 0 , 0 , ( 沿螺旋线到点 B πba ) 2 , 0 , ( 所作的功, 其中 L1 : = = , sin , cos = btztaytax , ≤ t ≤ π ) 20 ( . 265 ⅱ> 质点由点 A a ) 0 , 0 , ( 沿直线 L 2 到点 B πba ) 2 , 0 , ( 所作的功