定理3设A为n阶对称矩阵A是4的特征方程的r 重根则矩阵A-E的秩R(A-E)=n-r,从而 对应特征值九恰有r个线性无关的特征向量 定理4设4为n阶对称矩阵则必有正交矩陶P,使 PAP=A,其中A是以A的n个特征值为对角元 素的对角矩阵 证明设的互不相等的特征值为礼1,42,…, 它们的重数依次为,2,…,r(r+2+…+r,=n 根据定理1(对称矩阵的特征值为实数)和定 理3(如上)可得:. , 4 , , 1 素的对角矩阵 其 中 是 以 的 个特征值为对角元 定 理 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 使 P AP A n A n P =   − 证明 , , , , 1 2  s 它们的重数依次为 s r ,r , ,r 1 2  . , ( ) , 3 , 对应特征值 恰 有 个线性无关的特征向量 重 根 则矩阵 的 秩 从 而 定 理 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 r A E R A E n r A n A r     − − = − ( ). r1 + r2 + + rs = n 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 A 的互不相等的特征值为