高阶(n)微分方程F(x,y,y…,y)=0. y/=f(x,y,y2…,ym-) 分类3:线性与非线性微分方程 y+P(x)y=Q(x),x(0)2-2yy+x=0 分类4:单个微分方程与微分方程组 3y-2 dx 三、主要问题求方程的解 微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之 设y=0(x)在区间I上有n阶导数,F(x,9(x)(x)…,qm(x)=0 微分方程的解的分类: (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 例y=y,通解y=cex; +y=0,通解y=c1sinx+c2cosx (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解 解的图象:微分方程的积分曲线 通解的图象:积分曲线族 初始条件:用来确定任意常数的条件 初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题 "BA.Jy=f(x,y) 过定点的积分曲线 =f(r,y,y) 阶 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 例3验证函数x= C cos kt+C2snkt是微分方程+k2x=0的解并求满足 初始条件x=A2=0的特解 dt dt -kc sin kt +kC cos kt3 高阶(n)微分方程 ( , , , , ) 0, ( )  = n F x y y  y ( , , , , ). ( ) ( −1) =  n n y f x y y  y 分类 3: 线性与非线性微分方程. y  + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0; 2 x y  − yy + x = 分类 4: 单个微分方程与微分方程组.        = − = − 2 , 3 2 , y z dx dz y z dx dy 三、主要问题-----求方程的解 微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 设y =(x)在区间I 上有n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x x  x x = n     微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. 例 y  = y, ; x 通解 y = ce y  + y = 0, sin cos ; 1 2 通解 y = c x +c x (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 一阶:     =  = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 过定点的积分曲线; 二阶:     =  =   =  = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 例 3 验证:函数 x C coskt C sin kt = 1 + 2 是微分方程 0 2 2 2 + k x = dt d x 的解. 并求满足 初始条件 , 0 0 0 = = = = t t dt dx x A 的特解. 解 sin cos , 1 2 kC kt kC kt dt dx  = − +