fx)在x点可微,M=2|行满秩,则 P=l-M(M)M 是对零空间之投影矩阵(PM=0)。这样,若S=-PVf(x)≠0,则S是下降可行方向。事实上 v(x)S=-V(x)PVf(x)=PV(x)<0(PP=P),故S是下降方向。又因 MS=-MPV(x)=-M-M(M)MVf(x)=0 即AS=0,BS=0,由定理9,S又是可行方向。 定理11设x是(13)的一个可行解,分解/ b A (使得 Ax=b,A2x<b2,若M≈/4 行满秩,P=-M(MM)M,f在x可微,且PVf(x)=0 B 令O=-(M)Mf(x),相应地分解O ①若u≥0,则x是一个K-T点 ②若n20,令是m的一个负分量,置M=4 B/’其中A1是由A中去掉第j行后得到的矩 P=l-M(MM)M S=-PVf(x) 则S是一个改进的可行方向。 证:①因PVf(x)=Vf(x)+MO=0,即 PVf(x)=Vf(x)+Au+B v=0 (20) 所以若≥0,则由K-T条件知x为一个KT点。 ②首先证明PVf(x)≠0(用反证法)设PVf(x)=0,并令 =-(MM)Mf(x),可得PVf(x)=Vf(x)+Mb=0,由于 Au+By=Mo可写成M可+a,这里a是A的第j列,可是O去掉第j个分量u,后的 209209 f(x)在 x 点可微，         = B A M 1 行满秩，则 P I M MM M T T 1 ( ) − = − 是对零空间之投影矩阵（ = 0 T PM ）。这样，若 S = -Pf (x)  0,则S 是下降可行方向。事实上 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 f x S = −f x Pf x = − Pf x  T T （ P P P T = ），故 S 是下降方向。又因 ( ) ( ( ) ) ( ) 0 1 = −  = − −  = − MS MP f x M MM MM M f x T T 即 A1S = 0,BS = 0 ，由定理 9，S 又是可行方向。 定理 11 设 x 是（13）的一个可行解，分解         = 2 1 A A A ，         = 2 1 b b b ，使得 1 1 2 2 A x = b , A x  b ，若         = B A M 1 行满秩， P I M MM M T T 1 ( ) − = − ，f 在 x 可微，且 Pf (x) = 0， 令 ( ) ( ) 1 MM M f x T = −  −  ，相应地分解         = v u  ① 若 u  0 ，则 x 是一个 K-T 点。 ② 若 u  0 ，令 u j是u的一个负分量 ，置         = B A M 1 ˆ ˆ ，其中 1 A ˆ 是由 A1 中去掉第 j 行后得到的矩 阵，令 ( ) ˆ , ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ ˆ 1 P I M MM M S P f x T T = − = −  − 则 S 是一个改进的可行方向。 证： ① 因  ( ) =  ( ) +  = 0 T P f x f x M ，即 Pf (x) = f (x) + A1 u + B v = 0 T T （20） 所以若 u  0 ，则由 K-T 条件知 x 为一个 K-T 点。 ② 首先证明 ( ) 0 P ˆ f x  （用反证法）设 ( ) 0 P ˆ f x = ，并令 ( ) ˆ ) ˆ ˆ ˆ ( 1 MM M f x T = −  −  ，可得 ˆ 0 ˆ ( ) ( ) ˆ  =  +  = T P f x f x M ，由于 A u B v M T T 1 + = 可写成 T j j T M  + u a ˆ ，这里 T j a 是 T A1 的第 j 列, 是  去掉第 j 个分量 j u 后的