+ 当v≤0 b2-A2x>0 V=A,S 对于非线性约束问题(1),我们知道,如果 vf(x)ys<0,vg(x")s<0,v∈={g(x)=0}(18) 则S是下降可行方向 为求满足(18)的S,可解如下线性规划问题 mmn二 Vf(x3)S-z≤0 (x2)S (19) l≤S,≤1,j=1,…,m (19)是由 Zoutendijk首先提出,后来由 Topkis和 Vein等加以修正的可行方向法,可证由这种 算法产生的点列的任一聚点都是 Frita-John点。然后再验证(10)式成立,即知其为最优解。其特点 是在确定移动方向时,无论起作用约束和不起作用约東都用上了,从而不致于在达到不起作用约束 边界时,会使方向发生突然的变化 、 Rosen投影梯度法 这是 Rosen在1960年针对线性约束的优化问题(13)首先提出来的,后来他又将该法推广到非 线性约束情况,现已成为求解非线性规划的一类重要的有效方法 梯度投影法的基本思想是,当迭代点x在可行域内部时,取S*=-Vf(x2)为迭代方向,当作 无约束情形处理,当点x在可行域边界上而且负梯度指向可行域的外界时,就改变方向沿梯度在边 界上的投影搜索,使之成为可行方向,下边就问题(13)进行讨论。 设x是间题(13)的一个可行解,且使Ax=b,A2x<b2,这里A=/4 b 208208          = = −       +           = k k i i i v A S u b A x v v v v u 2 2 2 max 0 0 min 0 0 当 当  对于非线性约束问题（1），我们知道，如果 ( ) 0, ( ) 0 ,  ( ) 0 0 0 0 f x S  g x S  i  I = i gi x = T i T （18） 则 S 是下降可行方向。 为求满足（18）的 S，可解如下线性规划问题      −   =  −  − =  −  S j m g x S z g x i m f x S z st z j k i k T i k T 1 1, 1, , ( ) ( ), 1, , ( ) 0 . . min   (19) (19)是由 Zoutendijk 首先提出，后来由 Topkis 和 Veino 等加以修正的可行方向法，可证由这种 算法产生的点列的任一聚点都是 Frita-John 点。然后再验证（10）式成立，即知其为最优解。其特点 是在确定移动方向时，无论起作用约束和不起作用约束都用上了，从而不致于在达到不起作用约束 边界时，会使方向发生突然的变化。 §3、Rosen 投影梯度法 这是 Rosen 在 1960 年针对线性约束的优化问题（13）首先提出来的，后来他又将该法推广到非 线性约束情况，现已成为求解非线性规划的一类重要的有效方法。 梯度投影法的基本思想是，当迭代点 k x 在可行域内部时，取 ( ) k k S = −f x 为迭代方向，当作 无约束情形处理，当点 k x 在可行域边界上而且负梯度指向可行域的外界时，就改变方向沿梯度在边 界上的投影搜索，使之成为可行方向，下边就问题（13）进行讨论。 设 x 是问题（13）的一个可行解，且使 1 1 2 2 A x = b , A x  b ，这里         = 2 1 A A A ，         = 2 1 b b b ，设