任意λ>0,AS亦满足这些条件,进而导致(17)目标函数无下界,无法确定有限解 在问题(1⑦)中,由于S=0是可行解,故最优值必定小于或等于0;若小于0,则最优解即为下 降可行方向:若等于0,则以下定理保证x0是KT点 定理10在无约束问题中,设x是可行解,且Ax°=b1,A2x°<b2 其中,A/4 b2则x为KT点的充要条件是间题(17)的目标函数等于0 证:注意到问题(13)是线性约束问题,依定义,x为K-T点等价于存在向量l≥0和v,使得 Vf(x°)+Au+Bv=0 令向量v=p-q,其中p≥0,q≥0,于是 Bp=-Vf(x°) q q 依 Farkas定理,这个系统有解的充要条件是BS≤0,-Vf(x°)S>0,无解。即 B AS≤0,BS=0,Vf(x°)S<0无解,这等价于问题(17)的最优目标函数值等于0。所以x是 KT点的充要条件是(17)的最优值为0。证毕 求得第k步迭代的下降可行方向S后,其最优步长λk应满足 min f(x+2S") A(x+AS)≤b B(x+1S^)=d 由此出发不难推出(定理9)步长k可由如下有约束的一维搜索求得 min f(x+2S") 0≤A≤A 其中 207207 任意   0,S 亦满足这些条件，进而导致（17）目标函数无下界，无法确定有限解 S. 在问题（17）中，由于 S=0 是可行解，故最优值必定小于或等于 0；若小于 0，则最优解即为下 降可行方向；若等于 0，则以下定理保证 x 0 是 K-T 点。 定理 10 在无约束问题中，设 x 0 是可行解，且 2 0 1 2 0 1 A x = b , A x  b ，其中，         = 2 1 A A A ，         = 2 1 b b b ，则 x 0 为 K-T 点的充要条件是问题（17）的目标函数等于 0。 证：注意到问题（13）是线性约束问题，依定义，x 0 为 K-T 点等价于存在向量 u  0 和 v ，使得 ( ) 0 T 1 0 f x + A u + B v = T 令向量 v = p − q,其中p  0,q  0, 于是 ( , , ) ( ), 0 0 1            = −           − q p u f x q p u A B B T T T 依 Farkas 定理，这个系统有解的充要条件是 0 1            − S B B A ， ( ) 0 0 − f x S  T ，无解。即 0, 0, ( ) 0 0 A1S  BS = f x S  T 无解，这等价于问题（17）的最优目标函数值等于 0。所以 x 0 是 K-T 点的充要条件是（17）的最优值为 0。 证毕。 求得第 k 步迭代的下降可行方向 S k 后，其最优步长 k 应满足 B x S d A x S b f x S k k k k k k + = +  + ( ) ( ) min ( )     由此出发不难推出（定理 9）步长 k 可由如下有约束的一维搜索求得 0 max min ( )      + k k f x S 其中