第5期 武利琴，等：基于半张量积的企业创新网络演化博弈 ·777· 当下经济发展背景下，企业唯有不断创新才 常省略半张量符号“x”。 能长久生存发展下去。由于创新成本高额，部分 定义2o设A∈Mpa,BEMoxno它们的Khatri-- 企业不愿意改变原有模式，每个企业都想追求自 Rao积，记A*B,定义为 己的收益最大，然而对于政府或者整个社会来说， A*B= 所有企业全部创新，才是最好的局势。当前已有 [Col1(A)⑧Col(B)Col2(A)⑧Col2B·Col,(A⑧Coln(B]∈ 一些对企业间创新博弈的研究方法，如文献[5-8]， Mpaxn 通过构建微分方程组，利用给定的初始条件，得 命题11)设X∈R"及Y∈R为两列向量， 到方程组的解。该解描述了企业的总体构成P(创 则WinXY=YX,WYX=XY,其中nXmn维矩 新比例)随时间的演化趋势，并通过数据仿真方 阵Wmn被称为换位矩阵，且W=Wa; 法将博弈动态趋势以图的形态呈现，然而并不 2)设A∈Mmxm,那么 WimnV-(A)=Ve(A).WimV(A)=V,(A) 能展示每一次博弈后整个企业网络的博弈动态。 3)设X∈R和A∈Rm,则XA=(I,⑧A)X,这称 本文通过构建精确的理论框架来分析和控制 为伪交换性质。 企业创新网络演化的博弈动态，获得每次博弈后 各企业的收益、策略等性质，主要运用了矩阵半 引理1假设x,∈4，i=1,2…,n和x=1x, 张量积这种新的方法。半张量最先由程代展教授 则有x:=元x,其中元=l⑧⑧lk,i=1,2,…,n,m= [(π)（π）T…(πg)门T。 提出，成功应用于逻辑网络的分析与控制01)，包 引理2山设f:D→R是一伪逻辑函数，则 括布尔网络稳定性、可控性、可观测性及最优控 制47。半张量积在网络演化博弈动态行为及策 存在一个唯一的矩阵M∈Rx,称为f的结构矩 阵.满足 略最优控制方面的研究也取得了显著成果182 fx1,x2,…,xn)=My1x (1) 并在智能电网、经济破产机制等实际问题中得到 式中：∈4，i=1,2,…,n,且M列举了x=:= 了广泛应用212。同时，也可用于企业创新方面 到x=过程中fx)所有可能的值。引理2显示了 的研究。 怎样将一个逻辑函数表示成它的代数形式。 在企业创新网络中，本文将所有企业按规模 引理3山考虑一个k值逻辑动态网络： 分为大小两种企业，建立企业创新双层耦合网络。 x(t+1)=Lx(t) (2) 网络中各节点不同时刻采取的策略不同，会影响整 式中：x(0)=x,①)，LeCg,则 个网络的演化趋势。因此可通过政府调控使得整个 1)8是结构矩阵L的稳定点，当且仅当L主对 网络都达到创新的稳定局势，并能永久保持下去。 角线上的元素等于1。可得到式(2)中均衡点的 1预备知识 数量，用N表示，有 N.=Trace(L) (3) 本节给出关于半张量积的常用符号、定义和 2)长度为s环的数量用C,表示 基本性质。 C1=Ne 1)Mmxn表示m×n实矩阵的集合。 Trace(L-∑kCt (4) 2)Col(M)表示矩阵M的第i列，Col(M)表示矩 kep(s) C,= ,2≤s≤ 阵M的列集合。 3)D=(1,2,…,k}。 式中：p(s)代表s真因子的集合，s的真因子是正整 4)4n={⊙i=1,2,…,m,其中为单位矩阵1n的 数k<,满足无e乙。 第列。 5)矩阵L=[所…]为n×1逻辑矩阵，简写 2企业创新网络演化博弈 为L=6n[i12…,l,通常用Cnx表示n×t逻辑矩阵的 本文主要考虑企业群体之间的创新问题。企 集合。 业创新成本投入和风险承担是必需的，由于其规 6)V,(A)=[a1.1a12…a1n…am1am2…amnJ表示矩 模不同，导致资金周转与风险抵御能力的差距巨 阵A中行的展开。 大，因此将“智猪博弈”作为基本博弈是非常适合 定义1Io设A∈Mm,B∈Mpa,I=Icmin,.pl为 的。将参与博弈的企业群体按照规模分为两类： n与p的最小公倍数，那么A与B的半张量积定义为 大企业和小企业。将每个企业作为网络中参与博 A×B≌(A⑧Ln)(B⑧Ip) 弈的玩家，从而构建企业创新双层耦合网络，上 半张量积是普通矩阵乘积的一般化，因此通 层表示大企业群体，下层表示小企业群体。假设当下经济发展背景下，企业唯有不断创新才 能长久生存发展下去。由于创新成本高额，部分 企业不愿意改变原有模式，每个企业都想追求自 己的收益最大，然而对于政府或者整个社会来说， 所有企业全部创新，才是最好的局势。当前已有 一些对企业间创新博弈的研究方法，如文献[5-8]， 通过构建微分方程组，利用给定的初始条件，得 到方程组的解。该解描述了企业的总体构成 P(创 新比例) 随时间的演化趋势，并通过数据仿真方 法将博弈动态趋势以图的形态呈现[9] ，然而并不 能展示每一次博弈后整个企业网络的博弈动态。 本文通过构建精确的理论框架来分析和控制 企业创新网络演化的博弈动态，获得每次博弈后 各企业的收益、策略等性质，主要运用了矩阵半 张量积这种新的方法。半张量最先由程代展教授 提出，成功应用于逻辑网络的分析与控制[10-13] ，包 括布尔网络稳定性、可控性、可观测性及最优控 制 [14-17]。半张量积在网络演化博弈动态行为及策 略最优控制方面的研究也取得了显著成果[18-20] ， 并在智能电网、经济破产机制等实际问题中得到 了广泛应用[21-22]。同时，也可用于企业创新方面 的研究。 在企业创新网络中，本文将所有企业按规模 分为大小两种企业，建立企业创新双层耦合网络。 网络中各节点不同时刻采取的策略不同，会影响整 个网络的演化趋势。因此可通过政府调控使得整个 网络都达到创新的稳定局势，并能永久保持下去。 1 预备知识 本节给出关于半张量积的常用符号、定义和 基本性质。 1) Mm×n表示m×n实矩阵的集合。 Coli(M) M i Col(M) M 2) 表示矩阵 的第 列 ， 表示矩 阵 的列集合。 Dk 3) := {1,2,··· , k}。 ∆n := {δ i n |i = 1,2,··· ,n} δ i n In i 4) , 其中 为单位矩阵 的 第 列。 L = [δ i1 n δ i2 n ··· δ it n ] n×t L = δn[i1 i2 ··· it] Ln×t n×t 5) 矩阵 为 逻辑矩阵, 简写 为 , 通常用 表示 逻辑矩阵的 集合。 Vr(A) = [a1,1 a1,2 ···a1,n ···am,1 am,2 ···am,n] T 6) 表示矩 阵 A 中行的展开。 A ∈ Mm×n, B ∈ Mp×q, l = lcm{n, p} n p A B 定义 1 [10] 设 为 与 的最小公倍数，那么 与 的半张量积定义为 A⋉ B ∆ = (A⊗ Il/n)(B⊗ Il/p) 半张量积是普通矩阵乘积的一般化, 因此通 常省略半张量符号“⋉”。 A ∈ Mp×n, B ∈ Mq×n A∗ B 定义 2 [10] 设 。它们的 Khatri￾Rao 积, 记 , 定义为 A∗ B = [Col1(A)⊗Col1(B) Col2(A)⊗Col2(B) ··· Coln(A)⊗Coln(B)] ∈ Mpq×n X ∈ R m Y ∈ R n W[m,n]XY = YX, W[n,m]YX = XY mn×mn W[m,n] W[n,n] := W[n] 命题 1 [11] 1) 设 及 为两列向量， 则 ，其中 维矩 阵 被称为换位矩阵, 且 ； 2) 设 A ∈ Mm×n , 那么 W[m,n]Vr(A) = Vc(A), W[n,m]Vc(A) = Vr(A) X ∈ R t A ∈ R 3) 设 和 m×n , 则 XA = (It ⊗ A)X, 这称 为伪交换性质。 xi ∈ ∆k , i = 1,2,··· ,n x = ⋉ n i=1 xi xi = π n i x π n i = lk i−l ⊗ Ik ⊗ lk n−i , i = 1,2,··· ,n,Πn = [(π n 1 T ) (π n 2 ) T ···(π n n ) T ] T。 引理 1 [18] 假设 和 ， 则有 ，其中 f : Dn k → R Mf ∈ R 1×k n f 引理 2 [11] 设 是一伪逻辑函数, 则 存在一个唯一的矩阵 , 称为 的结构矩 阵, 满足 f(x1, x2, ··· , xn) = Mf ⋉ n i=1 xi (1) xi ∈ ∆k , i = 1,2,··· ,n Mf x = ⋉ n i=1 xi = δ 1 k n x = δ k n k n f(x) 式中： ,且 列举了 到 过程中 所有可能的值。引理 2 显示了 怎样将一个逻辑函数表示成它的代数形式。 引理 3 k [11] 考虑一个 值逻辑动态网络： x(t+1) = Lx(t) (2) x(t) = ⋉ n i=1 xi(t) L ∈ Lk n×k 式中： ， n，则 δ i k L ℓii Ne 1) 是结构矩阵 L 的稳定点，当且仅当 主对 角线上的元素 等于 1。可得到式 (2) 中均衡点的 数量，用 表示，有 Ne = Trace(L) (3) 2) 长度为 s 环的数量用 Cs表示    C1 = Ne Cs = Trace(L s )− ∑ k∈ρ(s) kCk s , 2 ⩽ s ⩽ k n (4) ρ(s) s s k < s s k ∈ Z+ 式中： 代表 真因子的集合, 的真因子是正整 数 , 满足 。 2 企业创新网络演化博弈 本文主要考虑企业群体之间的创新问题。企 业创新成本投入和风险承担是必需的，由于其规 模不同，导致资金周转与风险抵御能力的差距巨 大，因此将“智猪博弈”作为基本博弈是非常适合 的。将参与博弈的企业群体按照规模分为两类： 大企业和小企业。将每个企业作为网络中参与博 弈的玩家，从而构建企业创新双层耦合网络，上 层表示大企业群体，下层表示小企业群体。假设 第 5 期 武利琴，等：基于半张量积的企业创新网络演化博弈 ·777·