习题14.2第二类曲线积分与第二类曲面积分 1.求下列第二类曲线积分 (1)∫(x2+y2)+(x2-y2),其中L是以 A(10,B(2,0),C(2,1),D(1,)为顶点的正方形,方向为逆时针 方向 (2)∫(x2-2x)+(y2-2y),其中L是抛物线的一段 y=x2,-1≤x≤1,方向由(-1)到(1)1 (3)∫(x+y)(x=y),其中L是圆周x2+y2=a2,方向为 逆时针方向 (4)∫zx-xc+(x2+y2),其中L是曲线x=e,y=e,==a, 方向由 到(111) (5)x+地d+(x+y-),L是从点1)到点(234的直线 (6)∫+动+x,L为曲线{++=2·若从:轴的正 x+二=a(a>0) 向看去,L的方向为逆时针方向 (7)[(y-2x+(-x)+(x-y)d,L为圆周 1, ,若从x轴的正向看去,这个圆周的 y= x tan a(0<a<丌), 方向为是逆时针方向 解:(1)「(x2+y2x+(x2-y2 (x"+y )dx+(x-y)dy 「xdx+∫。(4-y)d+∫(x2++J(-y (2)(x2-2y)+(2-2)=(x2-2x3)+(x2-2x)2xh (3)(x+y)=(x=y x t习 题 14.2 第二类曲线积分与第二类曲面积分 1. 求下列第二类曲线积分： （1） ∫ + + − ，其中 是以 L (x y )dx (x y )dy 2 2 2 2 L A(1 0, ), B(2,0), C(2,1), D(1,1) 为顶点的正方形，方向为逆时针 方向； （2） ∫ − + − ，其中L 是抛物线的一段： L (x 2xy)dx ( y 2xy)dy 2 2 y x = − ≤ x ≤ 2 , 1 1，方向由(−11, )到( , 11) ； （3） ∫ + + − − L 2 2 ( ) ( ) x y x y dx x y dy ，其中 是圆周 ，方向为 逆时针方向； L x y a 2 2 + = 2 （4） ∫ − + + ，其中L 是曲线 ， L ydx xdy (x y )dz 2 2 t t t x = e y = e z = a − , , 0 ≤ t ≤ 1，方向由( , e e −1 ,a)到(111 , , ) ； （5） ∫ ， 是从点 到点 的直线 段； + + + − L xdx ydy (x y 1)dz L (111 , , ) ( , 2 3,4) （6） ∫ ，L 为曲线 若从 轴的正 向看去， 的方向为逆时针方向； + + L ydx zdy xdz ⎩ ⎨ ⎧ + = > + + = ( 0), 2 , 2 2 2 x z a a x y z az z L （7）∫ − + − + − ， 为圆周 L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz L ⎩ ⎨ ⎧ = < < + + = tan (0 ), 1, 2 2 2 y x α α π x y z ，若从 x 轴的正向看去，这个圆周的 方向为是逆时针方向。 解：（1）∫ + + − L (x y )dx (x y )dy 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) AB BC CD DA x y dx x y dy ⎧ ⎫ = + ⎨ ⎬ + + + + − ⎩ ⎭ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 1 0 2 2 2 2 1 0 2 1 = + x dx (4 − y d) y + (x +1)dx + (1− y d) ∫ ∫ ∫ ∫ y = 2。 （2）∫ − + − L (x 2xy)dx ( y 2xy)dy 2 2 ∫− = − + − 1 1 2 3 4 3 [(x 2x ) (x 2x )2x]dx 15 14 ( 4 ) 1 1 2 4 = − = − ∫− x x dx 。 （3）∫ + + − − L 2 2 ( ) ( ) x y x y dx x y dy 1