这个结果不难推广到高维空间 2.动量本征函数的箱归一化 所谓的“无穷大空间”不是物理的现实空间。实际的物理情况是:问题所涉及的空间虽然很大却仍 然是有限的,然而这个空间的边界的影响又可以忽略不计。在这个时候,我们可以采用这样的办法:先 让粒子在有限的空间体积中运动,然后再让这个体积趋近于无穷。这就是所谓的箱归一化方法 这里的问题主要是如何处理空间的边界。可以证明:为了保证动量算符是 Hermitian算符,应该提 出周期性边界条件。或者从另一个角度来讲,周期性边界条件实际上意味着这个有限的体积可以扩展到 无穷,所以边界对内部空间不产生影响 下面先以一维空间为例说明动量本征函数的箱归一化。假设x∈[-L/2,L/2],并且v2(x)满足 Vp(-1/2)=vp(112 其中 Vp(x) 那么我们首先发现:这时本征值p变成离散的了,因为它必须满足 PL/h 所以 PL/=2nr,(n=0,±1,±2,…) 即是 LL 注意到 de broglie关系p=h/,所以它也就是L=|m|λ。其次,现在我们只在x∈[-L/2,L/2]中把 波函数归一化,所以 而正交归一条件成为 Yp, (x)vp (x)dx=dn 用vn(x)也可以构造在x∈[-L/2,L/2]上的δ函数 ∑vn(x)vn(x)=0(x-x)(x,x∈-L12,L/2]) 推广到三维情形,箱归一化的动量本征函数是 ∠e 其中 h P P h =0,±1,±2 所以 Vp(vOd=8nn8m'mS, 其中 会F∈[-L/2,L/2] ∑v(F)(F)=6°(F-7)(,F∈V) 当然,在处理实际的物理问题(做实际计算)的时候,最后要让L→∞,所以要仔细地处理可观察的 物理量的定义,使得它们在L→∞的时候与L无关。 关于箱归一化方法,一个直观的物理图象也很有用。在动量空间中,动量的本征值都出现在以h/L 为晶格常数的立方晶格上,所以一个晶胞的体积(也就是一个量子态平均占有的体积)是h3/D3,而坐2 这个结果不难推广到高维空间。 2. 动量本征函数的箱归一化 所谓的“无穷大空间”不是物理的现实空间。实际的物理情况是：问题所涉及的空间虽然很大却仍 然是有限的，然而这个空间的边界的影响又可以忽略不计。在这个时候，我们可以采用这样的办法：先 让粒子在有限的空间体积中运动，然后再让这个体积趋近于无穷。这就是所谓的箱归一化方法。 这里的问题主要是如何处理空间的边界。可以证明：为了保证动量算符是 Hermitian 算符，应该提 出周期性边界条件。或者从另一个角度来讲，周期性边界条件实际上意味着这个有限的体积可以扩展到 无穷，所以边界对内部空间不产生影响。 下面先以一维空间为例说明动量本征函数的箱归一化。假设 x L L  −[ / 2, / 2] ，并且 ( ) p  x 满足 ( / 2) ( / 2),   p p − = L L 其中 i / ( ) e . p x p  x  那么我们首先发现：这时本征值 p 变成离散的了，因为它必须满足 i / e 1, pL = 所以 p L n n / 2 , ( 0, 1, 2, ) = =    即是 2 . n nh p L L  = = 注意到 de Broglie 关系 p h = /  ，所以它也就是 L n =| |  。其次，现在我们只在 x L L  −[ / 2, / 2] 中把 波函数归一化，所以 1 1 i / i 2 / ( ) e e , n n p x n x L p x L L   = = 而正交归一条件成为 / 2 / 2 ( ) ( ) . n m L p p nm L    x x dx  − =  用 ( ) n p  x 也可以构造在 x L L  −[ / 2, / 2] 上的  函数： ( ) ( ) ( ). , [ / 2, / 2] ( ) n n p p n    x x x x x x L L +  =−     = −  − 推广到三维情形，箱归一化的动量本征函数是 i / 3/ 2 1 ( ) e , p r p r L   = 其中 , , , ( , , 0, 1, 2, ) x y z h h h p n p m p l n m l L L L = = = =   所以 3 ( ) ( ) , p p n n m m l l V      r r d r      =  其中 3 V r L L  −[ / 2, / 2] , 而且 ( ) 3 , , ( ) ( ) ( ). , p p n m l    r r r r r r V +  =−     = −  当然，在处理实际的物理问题（做实际计算）的时候，最后要让 L → ，所以要仔细地处理可观察的 物理量的定义，使得它们在 L → 的时候与 L 无关。 关于箱归一化方法，一个直观的物理图象也很有用。在动量空间中，动量的本征值都出现在以 h L/ 为晶格常数的立方晶格上，所以一个晶胞的体积（也就是一个量子态平均占有的体积）是 3 3 h L/ ，而坐