§33动量本征函数的归一化 动量本征函数在无穷空间中的归一化 动量算符是 p=-ihV 所以本征方程是 yo= py 其中p是任何实矢量(如果p有虚部,则本征函数就不能满足有限性的要求),按分量写出是 pxp h Pyy p-y 也就是说,是彼此对易的3个算符{Px,p,p3}的同时本征方程。容易发现,这些方程的解(即同时本 征函数)是 W()=Ce(++Py )+P:am=Ceip./n 在无穷空间中,它们是平方不可积的,所以要采用按δ函数归一化的方法 考虑另一个本征函数vp(F)并计算“交叉积分”(或“重叠积分”) 「vi(yG)d)=|cjen-1)的J 注意到 「en-Bd=2mho(P-m) 其中δ(p)是δ函数,所以 「v(G)WG)d=|C(2h)b(-)6(P,-p)(P2-p) 我们取 (2mh)3 那么就有 (P-p)(P,-p)6(p-p!)=(p-p 其中 Vp() 这就是在无穷大三维空间中按函数归一化的动量本征函数。在一维空间中,它们简化为 Un(y, (x)cx=d(p-p) 这样归一化的动量本征函数主要用于计算粒子的动量测量几率。 按δ函数归一化的方法可以用于任何有连续本征值谱的本征函数系。例如算符x的本征值谱是连续 谱。若记算符x的本征值为x1∈R的本征函数为vx(x),那么它们的正交归一性就是 yr (x)yr(x)dx=d(x1-x2) 然,x(x)就是 V(x)=d(x-xu1 §3.3 动量本征函数的归一化 1. 动量本征函数在无穷空间中的归一化 动量算符是 ˆ p = −  i , 所以本征方程是 i , p p −  =  p 其中 p  是任何实矢量（如果 p  有虚部，则本征函数就不能满足有限性的要求），按分量写出是 i , i , i , x y z p x p y p z         − =      − =     − =   也就是说，是彼此对易的 3 个算符 { , , } ˆ ˆ ˆ x y z p p p 的同时本征方程。容易发现，这些方程的解（即同时本 征函数）是 i( ) / i / ( ) e e . x y z p x p y p z p r p  r C C + +  = = 在无穷空间中，它们是平方不可积的，所以要采用按  函数归一化的方法。 考虑另一个本征函数 (r) p     并计算“交叉积分”（或“重叠积分”） 2 i( ) / 3 i( ) / i( ) / ( ) ( ) e e e , x x y y z z p p x p p y p p z p p  r r d r C dx dy dz −   −  −       =     注意到 i( ) / e 2 ( ), x x p p x x x dx p p   −   = −   其中  ( p) 是  函数，所以 3 3 2 ( ) ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ). p p x x y y z z       r r d r C p p p p p p    = − − −     我们取 , (2 ) 1 3  C = 那么就有 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), p p x x y y z z       r r d r p p p p p p p p    = − − −  −      其中 i / 3 1 ( ) e . (2 ) p r p  r   = 这就是在无穷大三维空间中按  函数归一化的动量本征函数。在一维空间中，它们简化为 1 i / ( ) e , 2 p x p  x  = ( ) ( ) ( ). p p    x x dx p p    = −   这样归一化的动量本征函数主要用于计算粒子的动量测量几率。 按  函数归一化的方法可以用于任何有连续本征值谱的本征函数系。例如算符 x ˆ 的本征值谱是连续 谱。若记算符 x ˆ 的本征值为 1 x  的本征函数为 1 ( ) x  x ，那么它们的正交归一性就是 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ). x x    x x dx x x   = −  显然， 1 ( ) x  x 就是 1 1 ( ) ( ). x   x x x = −