例如，若a,B为3维列向量且3Ta=2,则A=a8T的特征值为2,0,0. (12)当入是矩阵A的k重特征值时，矩阵A属于A的线性无关的特征向量的个数不超过k个 例5.1设3阶矩阵矩阵A的特征值是1,2,3则A+2E的特征值是一，A1的特征值是一，A的特 征值是一，A2+E的特征值是 ,(4-2E)2的特征值是 例5.2（仙）设3阶矩阵A的特征值为2,3，入.若24=-48，则入=一 (2)设3阶矩阵A的特征值是1，-1,2，则14°+34-2E= 例5.3已知A是n阶矩阵，满足A2-24-3E=0,求矩阵A的特征值. 例5.4()设3阶矩阵A的特征值互不相同若行列式4=0，则A的秩为 (2)若3维列向量a,3满足aTB=2,共中aT为a的转置，则3aT的非零特征值为 三，特征值与特征向量的求法 步骤：)由特征方程E-A川=0求矩阵A的全部特征值入位=1,2，·，m),其中可能有重根 (②)对每个入，解齐次方程组(AE-A)z=0.设(E-A)=r,得基础解系（即对应于X:的线性无关的 特征向量)，红，…，5-，则属于入的全部特征向量为k11+k2+…+kn-r,5m-n,其中，2，…，kn- 是不全为零的任意常数 注求特征值时，最好先用行列式的性质提取出一次因子，然后展开。在不能提取出一次因子只能用 下面方法考虑，以3阶矩阵A=(a)为例， 若)=-a:+e+we+A-W的系数为数 则A的特征值为A因子. 用 阵的特征值和 四相似矩阵~X, eα, βè3ëï˛Öβ T α = 2,KA = αβTAäè2, 0, 0. (12) λ¥› Ak­Aäû, › A·uλÇ5Ã'Aï˛áÍÿáLká. ~5.1 3› › AAä¥1, 2, 3, KA + 2EAä¥ , A−1Aä¥ , A∗A ä¥ , A2 + E Aä¥ , (A∗ − 2E) 2 Aä¥ . ~5.2 (1) 3› AAäè2, 3, λ.e|2A| = −48,Kλ = . (2) 3› AAä¥1, −1, 2 , K|A∗ + 3A − 2E| = . ~5.3 ÆA¥n› ,˜vA2 − 2A − 3E = 0,¶› AAä. ~5.4 (1) 3› AAäpÿÉ”.e1™|A| = 0 ,KAùè . (2) e3ëï˛α, β˜vα T β = 2 ,Ÿ•α Tèα=ò, KβαTö"Aäè . n,AäÜAï˛¶{ ⁄½: (1) dAêß|λE − A| = 0¶› A‹Aäλi(i = 1, 2, · · · , m) ,Ÿ•åUk­ä. (2) Èzáλi , )‡gêß|(λiE−A)x = 0 .r(λiE−A) = ri ,ƒ:)X(=ÈAuλiÇ5Ã' Aï˛)ξ1, ξ2, · · · , ξn−ri , K·uλi‹Aï˛èk1ξ1+k2ξ2+· · ·+kn−ri ξn−ri ,Ÿ•k1, k2, · · · , kn−ri ¥ÿè"?ø~Í. 5 ¶Aäû, Å–k^1™5üJ—ògœf,,￾–m. 3ÿUJ—ògœfêU^ e°ê{ƒ,±3› A = (aij )è~, ef(λ) = λ 3 − (a11 + a22 + a33)λ 2 + (      a11 a12 a21 a22      +      a11 a13 a31 a33      +      a22 a23 a32 a33      )λ − |A|XÍèÍ, KAAäè|A|œf. ~5.5 ¶e› Aä⁄Aï˛ (1)   −1 1 0 −4 3 0 1 0 2   (2)   −2 1 1 0 2 0 −4 1 3   (3) A =   2 2 −2 2 5 −4 2 −4 5  . o Éq› 3