Ω2=(,2,…,i),我们约定按自然数的大小排列其次序:1<2<…<。对K上的一个 n矩阵A,取A得第,2…列所组成的r×r矩阵记作A(g),又用|A(g)表示其 行列式 按照这个约定,根据多线性映射和交错线性映射的性质、行列式的性质,我们可以得 到下面这个命题 命题设是数域K上的n维线性空间,E1,E2…,En是它的一组基。又设∫是 ×…×F到K上线性空间W的一个r重交错映射。对于V内任意r个向量ax1…,n,设 1=a1E1+a12E2+…+anEn( 而A=(an)°则 f(a1…)=∑4(9,川f(61…) 其中和号是对所有可能的个子集9=(,2,…,)求和 123.4外积的定义 现在我们来指出,对每个正整数r≤m,r重交错映射都存在。为此取一个K上的 维线性空间,记为E,(V)。在E,(V)内取定一组基,并且把每个子集9对应于一个基向量 7(2)。对于V内任意r个向量a12a2…ar,设 1=a1E1+…+anEn(i 我们定义V×…×V到E()的映射∫如下 f(axna)=∑|A(9)m2)(*) 可以验证(*)式所定义的映射∫是V=Vx…xV到E,(V)的r重交错映射。 定义1210对任意a1…,an∈V,由(*)式定义的f(a1…a)称为这r个向量的 外积,记作a1Aa2A 1235外积的泛性质(与张量积的定义性质类似 命题设72…,nn是V内任一组基,则让Ω={12…,}取遍g2的所有r个元素的 子集(<2<…<)时,集合{…∧n}组成E()的一组基1 2 ( , ,..., ) r r  = i i i ，我们约定按自然数的大小排列其次序： 1 2 r i i i    。对 K 上的一个 r n 矩阵 A ，取 A 得第 1 2 , ,..., r i i i 列所组成的 r r  矩阵记作 ( ) A  r ，又用 | ( ) | A  r 表示其 行列式。 按照这个约定，根据多线性映射和交错线性映射的性质、行列式的性质，我们可以得 到下面这个命题： 命题 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间， 1 2 , ,..., n    是它的一组基。又设 f 是 V V   到 K 上线性空间 W 的一个 r 重交错映射。对于 V 内任意 r 个向量 1 ,...,  r ，设 1 1 2 2 ( 1,2,..., ) i i i in n  =  +  + +  = a a a i r ， 而 ( ) A a = ij r n 。则 1 1 ( , ) | ( ) | ( , ) r r r r i i f A f    =     ， 其中和号是对所有可能的 n r       个子集 1 2 ( , ,..., ) r r  = i i i 求和。 12.3.4 外积的定义 现在我们来指出，对每个正整数 r n  ，r 重交错映射都存在。为此，取一个 K 上的 n r       维线性空间，记为 ( ) E Vr 。在 ( ) E Vr 内取定一组基，并且把每个子集  r 对应于一个基向量 ( )  r 。对于 V 内任意 r 个向量 1 2 , ,...,   r ，设 1 1 ( 1,2, , ) i i in n    = + + = a a i r 我们定义 r V V   项 到 ( ) E Vr 的映射 f 如下： 1 ( ,..., ) | ( ) | ( ) r r r r f A       = （*） 可以验证（*）式所定义的映射 f 是 r r V V V =   项 到 ( ) E Vr 的 r 重交错映射。 定义 12.10 对任意 1 ,...,  r V ，由（*）式定义的 1 ( , , ) r f   称为这 r 个向量的 外积，记作    1 2    r 。 12.3.5 外积的泛性质（与张量积的定义性质类似） 命题 设 1 ,...,  n 是 V 内任一组基，则让 1 { , , } r r  = j j 取遍  的所有 r 个元素的 子集 1 2 ( ) r j j j    时，集合 1 { } r   j j   组成 ( ) E Vr 的一组基