证明设( (7h,…,mn)(t),则 7(2) =∑47 (, ……n ∑∑(-1)l (k…k尼∈ 由于{(2)是E,()的一组基,而{个…A7}中向量个数为=dimE() 故它是E()的一组基 外积具有一个类似与张量积的重要性质 定理设g是从V到K上线性空间W的一个交错映射,则存在E,(V)到W的唯一线 性映射σ,使下图交换: E,( 证明若r>n,则E,()={0},又g为零映射,故结论显然成立 下面设厂≤m对于V内取定的一组基E1…,En已知{1A…AE1<2<…<}组 成E()的一组基,且f(1…,1)=A…A,所以我们只要定义σ在这组基下的像 就可以了 o(a )=g(E4,…,E,) 对任意 V,设 a1=a1与1 linEn 我们有 )=o∑|4(9,)(n…) A (22)b(e ∧E ∑|4(9)g(s1…,5)=g(a1…a,)证明 设 1 1 ( , ) ( , , )( ) n n ij     = t ，则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) = r r r r r r r r r r r r r r r r n n r i i k i k k i k k k n n k i k i k k k k N k k k i k i k k k k t t t t t t             = = = =      =   =           =   −         由于 { ( )}  r 是 ( ) E Vr 的一组基，而 1 { } r   j j   中向量个数为 dim ( ) r n E V r     =   故它是 ( ) E Vr 的一组基。 外积具有一个类似与张量积的重要性质。 定理 设 g 是从 r V 到 K 上线性空间 W 的一个交错映射，则存在 ( ) E Vr 到 W 的唯一线 性映射  ，使下图交换： 证明 若 r n  ，则 ( ) E Vr ={0}，又 g 为零映射，故结论显然成立。 下面设 r n  。对于 V 内取定的一组基 1 ,..., n   。已知 1 1 2 { | } r i i r        i i i 组 成 ( ) E Vr 的一组基，且 1 1 ( ,..., ) r r i i i i f     =   。所以我们只要定义  在这组基下的像 就可以了。命 1 1 ( ) ( ,..., ) r r i i i i        = g （*） 对任意 1 , ,  r V ，设 1 1 ( 1,2, , ) i i in n    = + + = a a i n 我们有 1 1 1 1 1 ( , , ) | ( ) | ( , , ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( , , ) ( , , ) = = r r r r r r r r i i r i i r i i r f A f A A g g                      =       =    f g  r V ( ) E Vr W