高等数学教案 第十章重积分 Jfpcos4,psn8lpdnt0=dofpcos8,psin9pdp. (0.psindesip 例5.计算川e2-”dd,其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域 解在极坐标系中，闭区域D可表示为0ssa,0≤0≤2π，于是 Se-ddy-Sfe-pdipdo-pdplo-edo -0-e)do-z(-e) 注：此处积分 je2-严dkd也常写成e-r-dk x2+Jy2≤a 利用 小e-y=al-e计算广义积分∫。er: x2+y2≤a2 设A={(x月x+≤R,20,20,D={(x月+y≤2R,20,20}, g{(xy月0≤R0≤sR. 显然Ac之B.由于e->0,从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 je-yrd<小e-y<J∬er-yd D, 因为 Sfe--rddy=ferd.erdy=(edy. 又应用上面已得的结果有 e-ya=晋l-eR).ef-ydd=平l-e2)， D 于是上面的不等式可写成平l-e)<(eP<牙-e2R) 令一+%，上式两端趋于同一极限至，从而。e= 例6求球体x+y+艺≤4a被圆柱面x+y=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分)立体的 体积. 解由对称性，立体体积为第一卦限部分的四倍， V=4[V4a2-x2-y2dxdy, D