高等数学教案 第十章重积分 了 第一卦限部分是以={(x)|0ss√R2-x2,0≤Sp为底，以z=√R2-x2顶的曲顶柱体 于是 V-8JJVR2-x2do -8f dR-dy-8LRd =8R2-r2=R 二、利用极坐标计算二重积分 有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用 极坐标变量P、日表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 Jf(x.yda D 按二重积分的定义 fx,yMo=lim∑f5,n)△o D 20 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式. 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小 闭区域，小闭区域的面积为： Ao.-J(P+AP)-A0-TPi-A0-](2p.+AP)Ap A0 -et(PtAPAPA0=PAPAO. 2 其中下，表示相邻两圆弧的半径的平均值 在△o内取点(p,8),设其直角坐标为(5,7)， 则有5=pcos0,7,=p,sina 于是m上f传4a,=m上(cs可，万sin8, 0 i=l 元0 即 (-f(pcos0.psindpd0. 若积分区域D可表示为p:(≤p≤p(),B, 则 rpos&,psmaa0-d0efocosapsn0pn, 讨论：区域如下图，如何确定积分限？ 3