《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 x=OM-CB.y=AM-AB OM=CM [x=at-asint=a(t-sin t) ly=a-acost=a(1-cost) (0s1s2x) 钟摆当α很小时，摆动可近似为简谐振动，但这只是个近似.在摆的两侧用两 条曲线限制它，使它成为严格简谐振动，从而有严格周期，这个曲线恰为旋轮线，故 它也称为摆线 考虑一个质点在重力作用下从A点沿曲线下降到B点，沿什 么曲线下降最快？也是旋轮线，故它也称为最速下降线。 现在我们求它的导数： 以=兰 、1 ai-0g5. 1 令,1，这时=-，y=0,该点的切线方程为 即 y=x+a2-3 二、极坐标求导 极坐标中函数 r=r(0) x=r(0)cos0 换成直角坐标 y=r()sine y=兰=r0sn0+r(8)cos9 s0+8 xa r'(e)cos0-r(0)sin 1-g00=ga 可看成参数式 r'( 由此 r(8)-ga-g0 r'(0)1+iga1g0 =1g(a-0)=1gB ,见图 例2证明螺线r=ae0(a,6>0)向径与切线交角为一常数。 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 2 x = OM −CB, y = AM − AB ,OM = CM (0 2 ) cos (1 cos ) sin ( sin )       = − = − = − = − t y a a t a t x at a t a t t . 钟摆当  很小时,摆动可近似为简谐振动,但这只是个近似.在摆的两侧用两 条曲线限制它,使它成为严格简谐振动,从而有严格周期,这个曲线恰为旋轮线,故 它也称为摆线. 考虑一个质点在重力作用下从 A 点沿曲线下降到 B 点,沿什 么曲线下降最快？也是旋轮线,故它也称为最速下降线. 现在我们求它的导数： 2 1 (1 cos ) sin t tg a t a t x y y t t x = − =    = . 令 1 2 1 = t tg , 2  t = ,这时 1) 2 = ( −  x a , y = a .该点的切线方程为 1) 2 − = − ( −  y a x a , 即 ) 2 (2  y = x + a − . 二 、极坐标求导 极坐标中函数 r = r( ) . 换成直角坐标    = =     ( )sin ( ) cos y r x r . 可看成参数式 .                  t g r r t g r r t g r r r r x y yx =  −  + =  −  + =    = ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) cos ( )sin ( )sin ( ) cos , 由此          tg tg tg tg tg tg r r = − = + − =  ( ) ( ) 1 ( ) ,见图. 例 2 证明螺线 r = ae (a,b  0) b 向径与切线交角为一常数. β   r =r()