《数学分析(1,2,3)》教案 时有an≤Cn≤bn,则数列{cn}收敛,且imcn=a 注:迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法,而且也提供了一个求数列极限的工具。 例!:求数列小的极限 性质5(有界性)若数列{a}收敛,则{an}为有界数列 注:数列收敛则必有界,反之未必。例如数列{(-1)"}有界,但它不收敛。 四数列极限的运算 性质6(极限的四则运算法则)若{a}、{bn}为收敛数列,则{an+b},{an-b},{nbn}也都收敛,且 有 lim(an±bn)=a±b= lim a±lmbn lim(a, b)=a. b=lim a,. lim b 若再做假设b,≠0及lmbn≠0,则数列{}也收敛,且有 b lim e n→ n→b 在求数列的极限时,常需要使用极限的四则运算法则。 例:求Im+mm+“+4+,其中m5k.a≠0b≠0 bn+b=n+…+bn+b 例:求lm√m(m+2-Vm) 五单调有界数列 在研究比较复杂的极限问题时,通常分两步来解决:先判断该数列是否有极限(极限的存在性问题) 若有极限,再考虑如何计算些极限(极限值的计算问题)。这是极限理论的两基本问题。下面将重点讨论极 限的存在性问题。 定义若数列{an}的各项满足不等式an≤an1(a≥an),则称{an}为递增(递减)数列。递增和递减数列 统称为单调数列 例如:{}为递减数列;{}为递增数列 定理(单调有界定理)在实数系中,有界且单调数列必有极限。 例:设an=1+++…+,n=12…其中a≥2,证明数列{an}收敛。 例:证明下列数列收敛,并求其极限: √.√3+√3《数学分析（1，2，3）》教案 2-4 时有 nnn a c b   ，则数列 cn 收敛，且 lim n n c a → = . 注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。 例： 求数列   n n 的极限。 性质 5（有界性）若数列 an 收敛，则 an 为有界数列。 注：数列收敛则必有界，反之未必。例如数列 ( 1)  n − 有界，但它不收敛。 四 数列极限的运算 性质６（极限的四则运算法则） 若 an、bn 为收敛数列，则 a b a b a b n n n n n n + −  , ,     也都收敛，且 有 lim( ) lim lim n n n n n n n a b a b a b → → →  =  =  ; lim( ) lim lim n n n n n n n a b a b a b → → →  =  =  . 若再做假设 0 n b  及 lim 0 n n b →  ，则数列 n n a b       也收敛，且有 lim lim lim n n n n n n n a a a b b b → → → = = . 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。 例： 求 1 1 1 0 1 1 1 0 lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b − − → − − + + + + + + + + ，其中 , 0, 0 m k a b    m k . 例： 求 lim ( 2 ) n n n n → + − 。 五 单调有界数列 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）； 若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。下面将重点讨论极 限的存在性问题。 定义 若数列 an 的各项满足不等式 1 1 ( ) n n n a a a a   + + ，则称 an 为递增（递减）数列。递增和递减数列 统称为单调数列． 例如： 1 n       为递减数列；   2 n 为递增数列。 定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限。 例：设 1 1 1 1 , 1,2, 2 3 n a n n    = + + + + = 其中   2 ，证明数列 an 收敛。 例：证明下列数列收敛，并求其极限： 3, 3 3, , 3 3 3 , n + + + 个根号