第三十二讲变分法初步(续 (r) 的变分形式 解首先,可以将本问题看成是例323的特殊情形.因此,此本征值间题就等价于泛函 l/(Vu(r)(r)])dr 在齐次边界条件 u(r)|x=0 下的极值问题.更进一步,把本征值λ看成是 Lagrange乘子,那么,这个泛函极值问题又等价于 泛函 Vu(r) dr 在上述齐次边界条件和约束条件(本征函数的归一化条件) Jiu u(r) dr 下的条件极值问题 不难理解,这些本征函数正好就是泛函的极值函数,而本征值正好是泛函的极值.由于泛函 J]的二级变分 aJa V(Su(r)) dr 恒为正,所以,泛函的极值是极小值.这些极小值中的最小者,当然就是本征值问题的最小本征Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 7 ☞ u(r)   Σ = 0 ✭➷⑥✇♣✲ ✡ ✃✤ ✶ ❅ ❃ ⑧✒✰✱➶❇✽➯ 32.3 ✭❐❒✈✇✲✾ ❐✶❐✒✓✯✰✱❩➮➱❵ æ✫ J[u] = ZZ Z V n ∇u(r) 2 − λ u(r) 2 o dr ●✎✏çè✻✼ u(r)   Σ = 0 ★✭✮✯✰✱✲➥➵ ✧❮ ✶ ➏✒✓✯ λ ➶❇✽ Lagrange ➸➺✶➌➍✶ ❑❛æ✫✮✯✰✱❄➮➱❵ æ✫ J[u] = ZZ Z V ∇u(r) 2 dr ●❖❨✎✏çè✻✼➪❍■✻✼ (✒✓✫✬✭❰✧❭✻✼) J1[u] ≡ Z ZZ V u(r) 2 dr = 1 ★✭✻✼✮✯✰✱✲ ❤Ï ❡◗✶ ❑✲✒✓✫✬❦✚❩✽æ✫✭✮✯✫✬✶ q✒✓✯❦✚✽æ✫✭✮✯✲P❵æ✫ J[u] ✭ ✵ ✰➷⑥ δ 2J[u] = 2 ZZ Z V ∇ ￾ δu(r)
2 dr ✱✿❦ ✶❂❃✶æ✫✭✮✯✽✮✵✯✲❑✲✮✵✯ ❲ ✭Ð✵Ñ✶Ò❙ ❩✽✒✓✯✰✱✭Ð✵✒✓ ✯✲