§322微分方程定解问题和本征值问题的变分形式 第6页 这就说明,方程(#)一定就是泛函 2pn)(a/)-qay2()+f(a)a2dx 取极值的必要条件 例32.3写出偏微分方程定解问题 ∈V, u(T)x=f(∑) 的变分形式 解可以完全仿照例322的做法,考虑积分 对于被积函数中的后两项,有 对于被积函数中的第一项,则需要应用Grem第一公式以及边界条件8a(r)k=0 V2uδudr ua·d罗 Vu.V(Su)dr (u)dr 因此,原方程就转化为 [(Vu)2-k2a2]- 这说明,原来的定解问题就等价于在边界条件 求泛函 的极值问题. 例324写出偏徵分方程的本征值问题 r)+Aa(r)=0,Wu Chong-shi §32.2 ➧ ✝➨➩➫➭➯➲➳➵➸➡ ➯➲➝ ✆✝➺➻ ☛ 6 ☞ = 0. ❑❩➼ ➽✶ êë (#) ✧➻❩✽æ✫ J[y] = Z x1 x0 ( 1 2 " p(x)  dy dx 2 − q(x)y 2 (x) # + f(x)y(x) ) dx ✸ ✮✯✭✹✺✻✼✲ ó 32.3 ❆ ❘➾⑤⑥êë➻◗✰✱ ∇ 2u(r) + k 2u(r) = −ρ(r), r ∈ V, u(r)   Σ = f(Σ) ✭➷⑥✇♣✲ ✡ ❅ ❃➚➪➶➹➯ 32.2 ✭➘ ✌✶➴➷✷⑥ Z ZZ V ∇2u + k 2u + ρ(r) δu dr, ❴❵➔ ✷ ✫✬ ❲ ✭ ❚ ➹➣ ✶✴ ZZ Z V k 2uδudr = 1 2 δ ZZ Z V k 2u 2dr, ZZZ V ρ(r)δudr = δ ZZZ V ρ(r)u dr. ❴❵➔ ✷ ✫✬ ❲ ✭✙✧➣ ✶◆✐✺ ò➤ Green ✙✧➬♣ ❃éçè✻✼ δu(r)   Σ = 0 ✶ Z ZZ V ∇2u δu dr = ZZ Σ δu ∇u · dΣ − ZZ Z V ∇u · ∇￾ δu
dr = − 1 2 δ ZZZ V ￾ ∇u
2 dr. ✾ ❐✶▼êë❩❬❭✿ δ ZZZ V  1 2 ￾∇u
2 − k 2u 2 − ρu dr = 0. ❑➼ ➽✶▼➫✭➻◗✰✱❩➮➱❵●çè✻✼ u(r)   Σ = f(Σ) ★❏æ✫ ZZZ V  1 2 ￾∇u
2 − k 2u 2 − ρu dr ✭✮✯✰✱✲ ó 32.4 ❆ ❘➾⑤⑥êë✭✒✓✯✰✱ ∇2u(r) + λu(r) = 0, r ∈ V