第三十二讲变分法初步(续 第5页 322微分方程定解问题和本征值问题的变分形式 泛函取极值的必要条件的微分形式( Euler- Lagrange方程)是常微分方程或偏微分方程, 它和变量函数的定解条件结合起来,就构成常微分方程或偏微分方程的定解问题 对于泛函的条件极值问题,其必要条件中出现待定参量( Lagrange乘子),它和齐次边 界条件结合起来,就构成微分方程本征值问题 这一节将研究它的反问题:如何将微分方程的定解问題或本征值问题转化为泛函的极 值或条件极值问題,或者说,如何将微分方程的定解问题或本征值问題用变分语言表 例32.2写出常微分方程边值问题 d dz p(z)dz + g()y()=f(), to<Isri, y(xo)=0,y(x1)=y1 的泛函形式,即找出相应的泛函,它在边界条件()下取极值的必要条件即为(#) 解既然泛函极值必要条件的微分形式就是方程(#),那么,这个方程一定来自 ∫d I p()=+q(a)y()-f()5 5y(ar)dr =0 现在的问题就是要把上式左端化成某一积分的变分,这对于该积分被积函数的第二、三项是很容 易实现的, q(r)y()sy(r)dc q(r)y(a)dz, f(r)by(a)dr=8 f(a)y(r)dr 已知函数q(x)和∫(x)是与y(x)的变分无关的,因此,在变分计算中,它们都是常 对于被积函数中的第一项,可以分部积分, p(r)Sy(r)dx= p(a)8y(r dr dr 6|p(x)()dr 其中用到了y(x)=(x),=0.把上面的结果综合起来,就得到 "{≈ +q()y(x)-f(x)}6y(x) 2p()(a)-(z)y()+f()y( drWu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 5 ☞ §32.2 ❭❪❫❴❵❛❜❝❞❡❢✣❜❝✚❣❪❤✐ ❂ ➈ P ❃❄❶❥✽ ÜÝ❶❦❧➋ ➓ (Euler–Lagrange ♠♥) ➍❳❦❧♠♥♦♣❦❧♠♥✶ qr➅➆➈➉❶▼sÜÝt ❍✉↔✶→✈✇❳❦❧♠♥♦♣❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆① ②③❂ ➈❶ ÜÝ❃❄ ❅ ❆ ✶④❥✽ ÜÝ ⑤⑥⑦⑧▼⑨➆ (Lagrange âã) ✶ qr⑩❶❷ ❸ ÜÝt ❍✉↔✶→✈✇❦❧♠♥❹❺❄ ❅ ❆✲ ✿❀ ❻❼❽ ❾q❶❿ ❅ ❆➀Ï❯❼❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆ ♦❹❺❄ ❅ ❆➁➂❩❂ ➈❶ ❃ ❄♦ÜÝ❃❄ ❅ ❆ ✶♦➃➄✶Ï❯❼❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆ ♦❹❺❄ ❅ ❆➅➅❧➆➇➈ ➉✲ ó 32.2 ❆ ❘ ➦ ⑤⑥êëç ✯✰✱ d dx  p(x) dy dx  + q(x)y(x) = f(x), x0 < x < x1, (#) y(x0) = y0, y(x1) = y1 (z) ✭æ✫✇♣✶❋➊ ❘ ñò✭æ✫✶✷●çè✻✼ (z) ★ ✸ ✮✯✭✹✺✻✼❋ ✿ (#) ✲ ✡ ➋ ❙ æ✫✮✯✹✺✻✼✭⑤⑥✇♣❩✽êë (#) ✶➌➍✶ ❑❛êë✧➻ ➫ ➎ Z x1 x0  d dx  p(x) dy dx  + q(x)y(x) − f(x)  δy(x) dx = 0. å ● ✭✰✱❩✽✺➏ ❖ ♣➐➑❭ ❇➒ ✧ ✷ ⑥✭➷⑥✶ ❑ ❴❵➓✷⑥➔ ✷ ✫✬✭✙ ✵ ì→➣✽↔ ➮ ➱➢å✭ ✶ Z x1 x0 q(x)y(x)δy(x)dx = 1 2 δ Z x1 x0 q(x)y 2 (x)dx, Z x1 x0 f(x)δy(x)dx =δ Z x1 x0 f(x)y(x)dx. ↕➙ ➈➉ q(x) r f(x) ➍➛ y(x) ❶➅❧➜ ➝❶ ✶ ❱❲ ✶ ➞➅❧➟➠ ⑤✶ q➡➢➍❳➆✲ ❴❵➔ ✷ ✫✬ ❲ ✭✙✧➣ ✶ ❅ ❃ ⑥➤ ✷ ⑥ ✶ Z x1 x0 d dx  p(x) dy dx  δy(x) dx = p(x) dy dx δy(x)     x1 x0 − Z x1 x0 p(x) dy dx d(δy) dx dx = − Z x1 x0 p(x) dy dx δ  dy dx  dx = − 1 2 δ Z x1 x0 p(x)  dy dx 2 dx, ➥ ❲➤❮✛ δy(x)   x0 = δy(x)   x1 = 0 ✲➏ ❖❢✭❜❝➦✤✥➫✶❩ ✍ ❮ Z x1 x0  d dx  p(x) dy dx  + q(x)y(x) − f(x)  δy(x) dx = −δ Z x1 x0 ( 1 2 " p(x)  dy dx 2 − q(x)y 2 (x) # + f(x)y(x) ) dx