·512· 智能系统学报 第15卷 “(,对于任意随机隶属度“a((∈U)有 模型C(Ex,En,He)表示的隶属函数wu,无eU,则 P(I()Iu() 称式(6)为云集合的分解定理1，简称云分定理1： (, ≥1 PI(us()》>I(ua() A=U4:A田 (6) 。e P(Iua()>I(us()》 0, <1 式中：ua(A。(,为随机隶属度4()与经典截 PIus(民》>Iu() 集集合的相乘运算，构成一个新的云集合，定义 4, PI(us()》>I4a(》=0 “()与经典集合A的相乘运算为 PUua()>1us( 4(代)A= uA(),x∈A 1, ≥1 P(I(us(》>I(ua(》 0,x使A 证明 根据随机隶属度4（代）与经典集合 A 。(x)= PIua()>I(us(》 (5) 0. <1 A的相乘运算有 PIug(民)>Iua(》 A,e 1,P(I(us()>IuA()=0 称小间为云集合4的随机来属度山码云 PI(u(G)>Iu(》 eAugy -≥1 PIu:》>1u:( 截集，称A。()为云集合A的随机隶属度“的 (7) PI(ua()>I(ua()》 经典截集。特殊情况下A、B可以是同一集合。 0.eA,Puu,民》>I,D <1 元素截集与随机隶属度截集本质上是相同的。 3.2云集合的分解定理 w,.eAPu:》>,》=0 定理1设A为论域0上的云子集，具有云 由式()可进一步得 A=Uu:A=Y":Au田=[ C)AVI :(A, 、 hgeo含m g刘 ed “gAu]=〔 [AC]]V[ [0]]V[v =( REU REU >g国=0 npg吗m 码pm P0 g传g刘 ggn 定理2设A为论域U上的云子集，具有云 论与方法。提出I运算和P运算有效解决了云集 模型CEx,En,He)表示的隶属函数4，eU,则 合基础运算中的“取大”和“取小”运算，并在此基 称式(8)为云集合的分解定理2，简称云分定理2： 础上给出了云集合基础运算方法，提出了云集合 A=U,A 的截集和分解定理，并对分解定理进行了证明。 (8) 进一步的研究工作是应用本文提出的理论方法解 REU 证明根据式(4)和式（⑤），易知： 决相关问题。 A)=A田 参考文献： 于是有 [1]李德毅，孟海军，史雪梅.隶属云和隶属云发生器.计 UA.=UA田 算机研究与发展，1995,32(6)：15-20. eU LI Deyi,MENG Haijun,SHI Xuemei.Membership clouds 根据云分定理1得到： and Membership cloud generators[J].Computer R&D, 1995,32(6:15-20. uG)A:()=A [2]LI Deyi,LIU Changyu,GAN Wenyan.A new cognitive ￡eU model:cloud model[J].International journal of intelligent systems,.2009,24(3)357-375. 4结束语 [3]WANG Shuliang,LI Deren,SHI Wenzhong,et al.Cloud model-based spatial data mining[J].Geographic informa- 本文参照模糊集，提出一种云模型的集合理 tion sciences,2003,9(1/2:60-70.uB ℘ ( ℘ x) uB ∼ A( ℘ xi) ℘ ，对于任意随机隶属度 (xi ∈ U ) 有 A ℘ uB ℘ ( ℘ xi) ( ℘ x ) =    uA ℘ ( ℘ x), P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uB ℘ ( ℘ xi))) P(I(uB ℘ ( ℘ xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) ⩾ 1 0, P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uB ℘ ( ℘ xi))) P(I(uB ℘ ( ℘ xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) < 1 uA ℘ ( ℘ x), P(I(uB ℘ ( ℘ xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) = 0 A uB ℘ ( ℘ xi) (x) =    1, P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uB ℘ ( ℘ xi))) P(I(uB ℘ ( ℘ xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) ⩾ 1 0, P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uB ℘ ( ℘ xi))) P(I(uB ℘ ( ℘ xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) < 1 1, P(I(uB ℘ ( ℘ xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) = 0 (5) A ℘ uB ℘ ( ℘ xi) ( ℘ x ) A ℘ uB ℘ ( ℘ x) A ℘ uB ℘ ( ℘ xi) (x) A ℘ uB ℘ ( ℘ x) A ℘ B ℘ 称 为云集合 的随机隶属度 云 截集，称 为云集合 的随机隶属度 经典截集。特殊情况下 、 可以是同一集合。 元素截集与随机隶属度截集本质上是相同的。 3.2 云集合的分解定理 A ℘ 定理 1 设 为论域 U 上的云子集，具有云 C(Ex,En,He) uA ℘ ( ℘ x) ℘ 模型 表示的隶属函数 ，xi ∈ U ，则 称式 (6) 为云集合的分解定理 1，简称云分定理 1： A ℘ = ∪ x∈U uA ℘ ( ℘ xi)AuA ℘ ( ℘ xi) (x) (6) uA ℘ ( ℘ xi)A uA ℘ ( ℘ xi) (x) uA ℘ ( ℘ xi) uA ℘ ( ℘ xi) 式中： 为随机隶属度 与经典截 集集合的相乘运算，构成一个新的云集合，定义 与经典集合 A 的相乘运算为 uA ℘ ( ℘ xi)A =    uA ℘ ( ℘ xi), x ∈ A 0, x < A uA ℘ ( ℘ 证明 根据随机隶属度 xi) 与经典集合 A 的相乘运算有 ( uA ℘ ( ℘ xi)AA ℘ ( ℘ xi) (x) ) (℘ x ) =    uA ℘ ( ℘ xi), ℘ x ∈ AuA ℘ ( ℘ xi) , P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uA ℘ ( ℘ xi))) P(I(uA ℘ ( ℘ xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) ⩾ 1 0, ℘ x < AuA ℘ ( ℘ xi) , P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uA ℘ ( ℘ xi))) P(I(uA ℘ ( ℘ xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) < 1 uA ℘ ( ℘ x i ), ℘ x ∈ AuA ℘ ( ℘ xi ) ,P(I(uA ℘ ( ℘ xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) = 0 (7) 由式 (7) 可进一步得 A ℘ = ∪ ℘ x∈U uA ℘ ( ℘ xi)AuA ℘ ( ℘ xi) (x) = ∨℘ x∈U uA ℘ ( ℘ x i )AuA ℘ ( ℘ xi) (x) = [ ∨℘ x∈U P(I(uA ℘ ( ℘ x))>I(uA ℘ ( ℘ x i ))) P(I(uA ℘ ( ℘ x i ))>I(uA ℘ ( ℘ x))) ⩾1 uA ℘ ( ℘ x i )AuA ℘ ( ℘ xi) (x)]∨[ ∨℘ x∈U P(I(uA ℘ ( ℘ x))>I(uA ℘ ( ℘ x i ))) P(I(uA ℘ ( ℘ x i ))>I(uA ℘ ( ℘ x))) <1 uA ℘ ( ℘ x i )AuA ℘ ( ℘ xi) (x)]∨ [ ∨℘ x∈U P(I(uA ℘ ( ℘ x i ))>I(uA ℘ ( ℘ x)))=0 uA ℘ ( ℘ x i )AuA ℘ ( ℘ xi) (x)] = [ ∨℘ x∈U P(I(uA ℘ ( ℘ x))>I(uA ℘ ( ℘ x i ))) P(I(uA ℘ ( ℘ x i ))>I(uA ℘ ( ℘ x))) ⩾1 [uA ℘ ( ℘ x i )]]∨[ ∨℘ x∈U P(I(uA ℘ ( ℘ x))>I(uA ℘ ( ℘ x i ))) P(I(uA ℘ ( ℘ x i ))>I(uA ℘ ( ℘ x))) <1 [0]]∨[ ∨℘ x∈U P(I(uA ℘ ( ℘ x i ))>I(uA ℘ ( ℘ x)))=0 [uA ℘ ( ℘ x i )]] = uA ℘ ( ℘ x i ) A ℘ U C(Ex,En,He) uA ℘ ( ℘ x) ℘ xi ∈ U 定理 2 设 为论域 上的云子集，具有云 模型 表示的隶属函数 ， ，则 称式 (8) 为云集合的分解定理 2，简称云分定理 2： A ℘ = ∪ ℘ xi∈U uA ℘ ( ℘ xi)A℘ xi (x) (8) 证明 根据式 (4) 和式 (5)，易知： A℘ xi (x)=AuA ℘ ( ℘ xi) (x) 于是有 ∪ ℘ xi∈U uA ℘ ( ℘ xi)A℘ xi (x)= ∪ ℘ xi∈U uA ℘ ( ℘ xi)AuA ℘ ( ℘ xi) (x) 根据云分定理 1 得到： ∪ ℘ xi∈U uA ℘ ( ℘ xi)A℘ xi (x) = A ℘ 4 结束语 本文参照模糊集，提出一种云模型的集合理 论与方法。提出 I 运算和 P 运算有效解决了云集 合基础运算中的“取大”和“取小”运算，并在此基 础上给出了云集合基础运算方法，提出了云集合 的截集和分解定理，并对分解定理进行了证明。 进一步的研究工作是应用本文提出的理论方法解 决相关问题。 参考文献： 李德毅, 孟海军, 史雪梅. 隶属云和隶属云发生器 [J]. 计 算机研究与发展, 1995, 32(6): 15–20. LI Deyi, MENG Haijun, SHI Xuemei. Membership clouds and Membership cloud generators[J]. Computer R&D, 1995, 32(6): 15–20. [1] LI Deyi, LIU Changyu, GAN Wenyan. A new cognitive model: cloud model[J]. International journal of intelligent systems, 2009, 24(3): 357–375. [2] WANG Shuliang, LI Deren, SHI Wenzhong, et al. Cloud model-based spatial data mining[J]. Geographic informa￾tion sciences, 2003, 9(1/2): 60–70. [3] ·512· 智 能 系 统 学 报 第 15 卷