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第3期 王洪利：一种参照模糊集的云模型集合论方法研究 ·511· 2.2.6云集合的直积 集合的桥梁，能够实现云集合与经典集之间的转换。 参照经典集合与模糊集合中直积的定义2)， 3.1.2云集合的元素截集 设云集合A(X)、B(),∈X,y∈Y,(y)∈(X×Y) 设A为论域U上的云子集，具有云模型 称A(X)×B(Y)=C(X×Y)为云集合A(X)、B(Y)的 CEx,En,He)表示的隶属函数wa,对于任意集合 直积，其随机隶属度为 元素xeU,记： “A0x8m=Augo P(Iua()>I(uA()》 3云集合的截集与分解定理 (, -≥1 P(I(ua()>I(uA(》 3.1云集合的截集 4)6= P(Iu()>I(ua(,)》 0 <1 3.11云集合的A截集 P(I(ux)>Iu() 设A为论域U上的云子集，具有云模型 4的。PIu(G》>1u》=0 C(Ex,En,He)表示的隶属函数ua(,对于任意实数 Ae[0,1],则云集合的A云截集为 PIua)>1ua( 1. -≥1 P(IuA()>Iua( 0, 1u)-之 (Ag)(x)= PIu()>I(u()》 (4) 0, <1 云集合的A经典截集为 Pu,》>1,(》 1,P(Iua(》>Ia(》=0 (46= 1, Iua()≥入 0 1u,的一d 称集合(4)的为云集合A的元素x的云截 云集合的入模糊截集为 集，称集合(A,)(x)为云集合A的元素无的经典截集。 ",(间。1u,的)≥d 3.1.3云集合的区间截集 4= 0,1u,)-d 设A为论域0上的云子集，具有云模型 CEx,En,He)表示的隶属函数wa(,对于给定的区 定义区间I“左大于”入为区间的左端点大于 间[a,bs0,1,记： A,否则为“非左大于”，“左大于”记做三，“非左大 于”记做一。同理，定义区间1“中心大于”1为区 P(I(a()>I[a,b]) 间的中点大于入，否则为“非中心大于”，“中心大 4(, ≥1 PI([a,bJ》>Ia(》 于”记做≥，“非中心大于”记做一≥；定义区间I“右 P(I(u()>I([a,))) 小于”为区间的右端点小于，否则为“非右小 A P[ab] 0 <1 于”，“右小于”记做≤，“非右小于”记做一≤；定义 P(I([a,bD)>1(u()) 区间I“中心小于”A为区间的中点小于入，否则为 4(闭 PI(a,b)>I(ua(》=0 “非中心小于”，“中心小于”记做≤，“非中心小于” 记做≤。 P(I(u()>I(a,b)) 1. ≥1 对于正态云集合，根据隶属度函数有 PIa,b》>1u:》 e蒂≥1 Alab](x)= P(I(u()>I([a,b]) 因此，对于正态云模型，云集合A的入水平 0 <1 随机边界截集A可表示为 PI([a,b)>I(a(》 A={dEx-V-2E2lnd≤x≤Ex+V-2En2lnd 1, PI([a,b)>Iua》=0 式中：Er为以He为标准差，En为期望的正态随 称集合A为云集合A的区间[a,b]云截集，称 机数。 [a.b] 集合A为云集合A的区间[a,b)经典截集。 (A)(x)与(A)x)体现了云集合与模糊集、经 典集合之间的关系，(4)()模糊截集是沟通云集 3.1.4云集合的随机隶属度截集 合与模糊集的桥梁，能够实现云集合与模糊集之 设A、B为论域U上的云子集，具有云模型 间的转化；(A)x)经典截集是沟通云集合与经典 CA(Ex,En,He)、Cs(Ex,En,He)表示的隶属函数Wa(、2.2.6 云集合的直积 A ℘ (X)、B ℘ (Y), xi ∈ X, yi ∈ Y ∀(xi , yj) ∈ (X ×Y) A ℘ (X)× B ℘ (Y) = C(X ×Y) A ℘ (X)、B ℘ (Y) 参照经典集合与模糊集合中直积的定义[20] ， 设云集合 ， 称 为云集合 的 直积，其随机隶属度为 uA ℘ (X)×B ℘ (Y) = uA ℘ (X) ∧uB ℘ (Y) 3 云集合的截集与分解定理 3.1 云集合的截集 3.1.1 云集合的 λ 截集 A ℘ U C(Ex,En,He) uA ℘ ( ℘ x) λ ∈ [0,1] λ 设 为论域 上的云子集，具有云模型 表示的隶属函数 ，对于任意实数 ，则云集合的 云截集为 (A ℘ λ )( ℘ x) = uA ℘ ( ℘ x), I(uA ℘ ( ℘ x)) L ⩾λ 0, I(uA ℘ ( ℘ x))¬ L ⩾λ 云集合的 λ 经典截集为 (Aλ)( ℘ x) = 1, I(uA ℘ ( ℘ x)) L ⩾λ 0, I(uA ℘ ( ℘ x))¬ L ⩾λ 云集合的 λ 模糊截集为 (A ∼ λ )( ∼ x) = uA ∼ ( ∼ x), I(uA ℘ ( ℘ x)) L ⩾λ 0, I(uA ℘ ( ℘ x))¬ L ⩾λ λ λ L ⩾ ¬ L ⩾ λ λ C ⩾ ¬ C ⩾ λ λ R ⩽ ¬ R ⩽ λ λ C ⩽ ¬ C ⩽ 定义区间 I “左大于” 为区间的左端点大于 ，否则为“非左大于”，“左大于”记做 ，“非左大 于”记做 。同理，定义区间 I “中心大于” 为区 间的中点大于 ，否则为“非中心大于”，“中心大 于”记做 ，“非中心大于”记做 ；定义区间 I “右 小于” 为区间的右端点小于 ，否则为“非右小 于”，“右小于”记做 ，“非右小于”记做 ；定义 区间 I “中心小于” 为区间的中点小于 ，否则为 “非中心小于”，“中心小于”记做 ，“非中心小于” 记做 。 对于正态云集合，根据隶属度函数有 e − (x−Ex) 2 2(En ′ ) 2 ⩾ λ A ℘ λ Aλ 因此，对于正态云模型，云集合 的 水平 随机边界截集 可表示为 Aλ = { x|Ex− √ −2En ′2 lnλ ⩽ x ⩽ Ex+ √ −2En ′2 lnλ } En ′ 式中： 为以 He 为标准差， En 为期望的正态随 机数。 (Aλ ∼ )(x) (Aλ)(x) (Aλ ∼ )(x) (Aλ)(x) 与 体现了云集合与模糊集、经 典集合之间的关系， 模糊截集是沟通云集 合与模糊集的桥梁，能够实现云集合与模糊集之 间的转化； 经典截集是沟通云集合与经典 集合的桥梁，能够实现云集合与经典集之间的转换。 3.1.2 云集合的元素截集 A ℘ U C(Ex,En,He) uA ℘ ( ℘ x) ℘ xi ∈ U 设 为论域 上的云子集，具有云模型 表示的隶属函数 ，对于任意集合 元素 ，记： (A ℘ ℘ xi )( ℘ x) = uA ℘ ( ℘ x), P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uA ℘ ( ℘ xi))) P(I(uA ℘ ( ℘ xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) ⩾ 1 0, P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uA ℘ ( ℘ xi))) P(I(uA ℘ (xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x)) < 1 uA ℘ ( ℘ x), P(I(uA ℘ ( ℘ xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) = 0 (A℘ xi )(x) = 1, P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uA ℘ ( ℘ xi))) P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) ⩾ 1 0, P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uA ℘ ( ℘ xi))) P(I(uA ℘ ( ℘ xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) < 1 1, P(I(uA ℘ ( ℘ xi)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) = 0 (4) (A ℘ xi )( ℘ x) A ℘ ℘ xi (Axi )(x) A ℘ ℘ xi 称集合 为云集合 的元素 的云截 集，称集合 为云集合 的元素 的经典截集。 3.1.3 云集合的区间截集 A ℘ U C(Ex,En,He) uA ℘ ( ℘ x) ∀[a,b] ⊆ [0,1] 设 为论域 上的云子集，具有云模型 表示的隶属函数 ，对于给定的区 间 ，记： A ℘ [a,b] ( ℘ x ) = uA ℘ ( ℘ x), P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I([a,b])) P(I([a,b])) > I(uA ℘ ( ℘ x))) ⩾ 1 0, P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I([a,b])) P(I([a,b])) > I(uA ℘ ( ℘ x))) < 1 uA ℘ ( ℘ x), P(I([a,b]) > I(uA ℘ ( ℘ x))) = 0 A[a,b] (x) = 1, P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I([a,b])) P(I([a,b])) > I(uA ℘ ( ℘ x))) ⩾ 1 0, P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I([a,b]) P(I([a,b])) > I(uA ℘ ( ℘ x))) < 1 1, P(I([a,b]) > I(uA ℘ ( ℘ x))) = 0 A ℘ [a,b] A ℘ [a,b] A [a,b] A ℘ [a,b] 称集合 为云集合 的区间 云截集，称 集合 为云集合 的区间 经典截集。 3.1.4 云集合的随机隶属度截集 A ℘ B ℘ U CA(Ex,En,He) CB(Ex,En,He) uA ℘ ( ℘ x) 设 、 为论域 上的云子集，具有云模型 、 表示的隶属函数 、 第 3 期 王洪利：一种参照模糊集的云模型集合论方法研究 ·511·