《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 景hf+a6分h2ame-0 -4h2-0」 I(ayd 另一方面。 “-0-10)=10. 所以1=0=名血2】 例3设f)在x=0的某个邻域内连续，验证当州充分小时，函数 0.c-r0 的各阶导数存在，且p()=f) 解F)-小一0及其偏导数F,(,小在原点的某方邻域内连续， p6.6c-e-r0o-r0 .a2fc-r0h aoe.6-ic-0a pn6g.j0h 故px)=f) kx- 例4求1=8hx ∫x'd-x 解 =nx,所以 信时r品，小 1nx“ 注：从例子中可体会到含参量的正常积分的分析性质对一些困难的积分的求 出提供了方便 《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 6 = ( ) (1) 0 1 ln 2arctan 2 1 0 1 ln 1 8 2 + + − I  = ln 2 (1) 4 − I  ， 另一方面 ( )   1 0 I  d = I(1)− I(0) = I(1)， 所以 I = I(1) = ln 2 8  ， 例 3 设 f (x) 在 x = 0 的某个邻域内连续，验证当 x 充分小时，函数 (x)= ( ) ( ) ( )  − − − x n x t f t dt n 0 1 1! 1 的各阶导数存在，且 ( ) (x) n  = f (x) 解 F(x,t)= (x t) f (t) n−1 − 及其偏导数 F (x t) x , 在原点的某方邻域内连续， (x)= ( ) ( − )( − ) ( ) + −  − x n n x t f t dt n 0 2 1 1! 1 ( ) (x x) f (t) n n 1 1 ! 1 − − − = ( ) ( ) ( )  − − − x n x t f t dt n 0 2 2 ! 1 ， 所以 ( ) (x) k  = ( ) ( ) ( )  −− − − − − x n k x t f t dt n k 0 1 1! 1 ， ( ) (x) n−1  = ( )  x f t dt 0 ，故 ( ) (x) n  = f (x). 例 4 求 I =  − 1 0 ln dx x x x b a . 解  b a y x dy = x x x b a ln − ，所以 I =  − 1 0 ln dx x x x b a =  1 0 dx  b a y x dy =   b a y dy x dx 1 0 =  + b a dy 1 y 1 = a b + + 1 1 ln ， 注：从例子中可体会到含参量的正常积分的分析性质对一些困难的积分的求 出提供了方便