《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 对于，令以 ,则有=了冰 因为Hu,)与H,a儿=u,)都在R上连续，由定理19.3 .品新wjw 故得=@，u∈a,又4a)=1,@)=0, 即，@=，@，u∈a,),取u=b即得所欲证. 三、应用的例 例1求巴了， 解记@)=1++a,由于a,1+a,1+x+连续，所以 了j 例2计算积分 h0+四lk 解考虑a)=}1+x ,由定理19.3 +aam+0+h0+mj明 tae经+2-h0+a侧 所+h2-ht*alpa《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 5 对于 I (u) 2 ，令 H(u, y)= ( )  u a f x, y dx ，则有 I 2 (u) = ( )  d c H u, y dy ， 因为 H(u, y) 与 H (u y) u , = f (u, y) 都在 R 上连续，由定理 19．3 I (u) 2  = H(u y)dy H (u y)dy f (u y)dy I(u) du d d c d c u d c    , = , = , = ， 故得 I (u) 1  = I (u) 2  ，u a,b ，又 I (a) 1 = I 2 (a) = 0， 即 I (u) 1 = I (u) 2 ，u a,b ，取 u = b 即得所欲证． 三、 应用的例 例 1 求  + → + +     1 2 2 0 1 lim x dx . 解 记 I() =  + + +    1 2 2 1 x dx ，由于  ，1+ ， 2 2 1 1 + x + 连续，所以  + → + +     1 2 2 0 1 lim x dx ＝ 1 4 1 0 2  = +  x dx . 例 2 计算积分 I = ( )  + + 1 0 2 1 ln 1 dx x x . 解 考虑 I() = ( )  + + 1 0 2 1 ln 1 dx x x ，由定理 19．3 ( ) ( ( ))  + +  = 1 0 2 1 1 dx x x x I   = dx x x x x        + − + + + + 1 0 2 2 2 1 1 1 1 1     = ( ) ( ) 0 1 ln 1 ln 1 2 1 arctan 1 1 2 2       + + − + +  x x x  = ( )       + − + + x    ln 2 ln 1 2 1 1 4 1 2 ， 所以 ( )   1 0 I  d = (  )     x d        + − + + 1 0 2 ln 2 ln 1 2 1 1 4 1