《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 定理19.4（何微性）若函数f儿，川与其偏导数亦f,川都在区域 R=a,小x[,上连续，c),d()为定义在la,上其值含于p,的可微函数， e1 在la,上可微，且 +f,d》d6)-f,c》c6).( 证明把F)看作复合函数： F()-H.d)_. ,其中c=以d=ad), 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有 云兴0出k dx dc dx dd dx = +f(x.d(x)d(x)-f(x.dx))c(x) (三)、可积性 定理19.5（可积性）若二元函数心，)在矩形区域R=a,小×，d上连续， 则丽数以.飞场 fx,y 和J心)=。 分别在a,和k,d上可积 正明由似)，心)的连续性即知。 定理19.6（何积性）若二元函数心，川在矩形R=小xk,d上连续，则 ∫jf,jjf, 证记 -t炒，4-i灿 其中u∈a,现分别求，侧与回的导数 o创品= 《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 4 定理 19．4(可微性) 若函数 f (x, y) 与其偏导数 x  f (x, y) 都在区域 R = a,bp,q 上连续， c(x)，d(x) 为定义在 a,b 上其值含于 p,q 的可微函数， 则 F(x)= ( ) ( ) ( )  d x c x f x, y dy ， 在 a,b 上可微，且 F(x)= ( ) ( ) ( )  d x c x f x x, y dy + f (x,d(x)) d(x) − f (x,c(x)) c (x) . （7） 证明 把 F(x) 看作复合函数： F(x)＝ H(x,c,d)= ( )  d c f x, y dy ,其中 c = c(x),d = d(x), 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有 F(x) dx d = dx dd d H dx dc c H x H   +   +   = ( ) ( ) ( )  d x c x f x x, y dy + f (x,d(x)) d(x) − f (x,c(x)) c (x) （三）、可积性 定理 19．5(可积性) 若二元函数 f (x, y) 在矩形区域 R = a,bc,d 上连续， 则函数 I(x)= ( )  d c f x, y dy 和 J(y)= ( )  b a f x, y dx 分别在 a,b 和 c,d 上可积． 证明 由 I(x), J(y) 的连续性即知. 定理 19．6(可积性) 若二元函数 f (x, y) 在矩形 R = a,bc,d 上连续，则  b a dx ( )  d c f x, y dy =  d c dy ( )  b a f x, y dx . 证 记 I 1 (u) =  u a dx ( )  d c f x, y dy ， I 2 (u) =  d c dy ( )  u a f x, y dx , 其中 u a,b ，现分别求 I (u) 1 与 I (u) 2 的导数. ( ) du d I 1  u = I(x)dx I(u) u a = 