《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 d(x) ∫fxy F)= ,xea,】(6)在a,上的连续。 证明：对积分(6)作换元，令y=c)+)-c》,则 F)-de)c d(x) =0 fkc)+d)-ceMd)-c》在矩形a,小x[o则上连续，由定理19.1 即得结论 (二)、可徽性 定理19.3（可微性）若函数心，川与其偏导数亦八，川都在矩形区域 R=a,xk,d小上连续，则) jf,炒 在[a,上可微，且 帅层帅 证明：设x∈a,】,对充分小的△x,有x+△r∈，】（若x为区间端点则考 虑单侧导数)，于是 +A-因_+A以小-f》女 △r 0 由于拉格朗日中值定理及亦f化k,川在矩形区域R=口，小xk,d小上连续（从而一致 连续，即对任给的正数6，总存在某个正数心，只要A<ò，就有 +△-f】-fkK.K+a.y)-f.(.xl-c(0<0< △r 国是-i-中地-9 Ar 这就证得对-切ek,名)-层冰 3《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 3 F(x)= ( ) ( ) ( )  d x c x f x, y dy ， x  a,b （6） 在 a,b 上的连续． 证明： 对积分（6）作换元，令 y = c(x)+t(d(x)− c(x)) ，则 F(x)= ( ) ( ) ( )  d x c x f x, y dy = ( ( ) ( ( ) ( )))( ( ) ( ))  + − − 1 0 f x,c x t d x c c d x c x dt f (x,c(x)+t(d(x)− c(c)))(d(x)− c(x)) 在矩形 a,b 0,1 上连续，由定理 19．1 即得结论 （二）、可微性 定理 19．3(可微性) 若函数 f (x, y) 与其偏导数 x  f (x, y) 都在矩形区域 R = a,bc,d 上连续，则 I(x)= ( )  d c f x, y dy 在 a,b 上可微，且 dx d ( )  d c f x, y dy = ( )    d c f x y dy x , 证明：设 xa,b ，对充分小的 x ，有 x + xa,b （若 x 为区间端点则考 虑单侧导数），于是 ( ) ( ) ( ) ( ) dy x f x x y f x y x I x x I x d c   +  − =  +  − , , . 由于拉格朗日中值定理及 x  f (x, y) 在矩形区域 R = a,bc,d 上连续（从而一致 连续），即对任给的正数  ，总存在某个正数  ，只要 x   ，就有 ( ) ( ) f (x y) x f x x y f x y x , , , −  +  − = f (x +x y)− f (x y)   x x , , (0  1) 因此 − ( )     d c f x x y dy x I , ( ) ( ) f (x y)dy x f x x y f x y d c  − x  +  − , , ,  (d − c) 这就证得对一切 xa,b， I(x) = dx d ( )    d c f x y dy x , ．