《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 (一)、连续性 定理19.1（连续性）若二元函数，)在矩形区域R=a,小k,d小上连续， 则质数心在沙在k小上莲铁 证明设x∈，】，对充分小的△x,有x+Ar∈a,)(若x为区间端点则考 虑△r>0或Ax<0),于是 在+a-阳U+ac小-M (3) 由于儿(，川在有界闭区域R上连续，从而一致连续，即对任给的正数6，总存在 某个正数6，对R内任意两点：，出)与：，)，只要 x-x<6以-<6 就有 f(.y)-f(x2,y2)<s (4) 所以由(3)(4)可得：当A<6, +A-+A以-foje =s(d-c) 这就证得)在a,上连续。 (同理，若二元函数f心，川在矩形区域R=a,小xk,d上连续，则函数 心达在kd上连铁) 定理19.1的结论可写成：么k.)=了炒典化炒 (极限运 算与积分运算交换顺序)· 定理19.2（连续性）设二元函数f八川在区域 G.《x)≤y≤d,a≤x≤b上连续，其中函数c()，,d)为a,b上的连续 函数，则函数 《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 2 （一）、连续性 定理 19．1(连续性) 若二元函数 f (x, y) 在矩形区域 R = a,bc,d 上连续， 则函数 I(x)= ( )  d c f x, y dy 在 a,b 上连续． 证明 设 xa,b ，对充分小的 x ，有 x + xa,b （若 x 为区间端点则考 虑 x  0 或 x  0 ），于是 I(x + x)− I(x)=  ( ) ( )  +  − d c f x x, y f x, y dy （3） 由于 f (x, y) 在有界闭区域 R 上连续，从而一致连续，即对任给的正数  ，总存在 某个正数  ，对 R 内任意两点 ( ) 1 1 x , y 与 ( ) 2 2 x , y ，只要 x1 − x2   , y1 − y2   就有 ( )− ( )   1 1 2 2 f x , y f x , y （4） 所以由（3）（4）可得：当 x   ， I(x + x)− I(x)  ( ) ( )  +  − d c f x x, y f x, y dy   d c  dy = (d − c) 这就证得 I(x) 在 a,b 上连续． （同理，若二元函数 f (x, y) 在矩形区域 R = a,bc,d 上连续，则函数 J(y)= ( )  b a f x, y dx 在 c,d 上连续．） 定理 19．1 的结论可写成： x a,b  0  ( ) ( ) →   → = d c x x d c x x lim f x, y dy lim f x, y dy 0 0 （极限运 算与积分运算交换顺序）. 定理 19．2(连续性) 设二元函数 f (x, y) 在区域 G = (x, y)c(x)  y  d(x),a  x  b 上连续，其中函数 c(x)，d(x) 为 a,b 上的连续 函数，则函数