(1)线性组合：设阝是一个n维向量，若存在一组数，，…，'m,使 B=101+1202+…+1mCm 则称B为向量组1，C2…,Cm的一个线性组合，或称B可由向量组1,02，，0m线 性表出。 注设两组向量(D1,02,…0m,()B,B2,…Bnm,若每一个a,=1,2,…,m) 都可由B,P,…,Bm线性表出，则称向量组（①）可由向量组()线性表出：当向 量组(I)与（Ⅱ）可互相表出时，称向量组(I)与()等价。 (2)线性相关：若存在一组不全为零的数1，，…，1m,1+12C2+…+1m0m=0 则称向量组01,2，…，m线性相关。 (3)线性无关：若当且仅当=1=…=1m=0时，41+1242++1mm=0才 成 立，则称12，m线性无关。 注对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。 4.1.4向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系 ()B可由a1,a2,,am线性表出一线性方程组1，a,,amr=B有解一矩 阵1，C2,…,anm]的秩等于矩阵1,2，…，m的秩 (2)a,4,…,0m线性相关台齐次线性方程组，，…，am]K=0有非零解台矩 阵1，a2,…,am]的秩小于m (③)a,42,…,am线性无关一齐次线性方程组口1,2，…，ank=0只有零解台矩 阵1，C2,…,an]的秩等于m 4.1.5向量的线性相关性的有关结论 (1)仅含一个向量的向量组线性相关台a=0 (2)任何含有零向量的向量组必线性相关 (3)含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关） 注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关 (④)线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相 关) 注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (5)任意m个n维向量，当m>n时必线性相关 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn(1) 线性组合：设 b 是一个 n 维向量，若存在一组数 m t ,t , ,t 1 2 L ，使 m m b = t 1a1 + t 2a2 +L+ t a 则称 b 为向量组a a am , , , 1 2 L 的一个线性组合，或称 b 可由向量组a a am , , , 1 2 L 线 性表出。 注 设两组向量（I）a a am , , , 1 2 L ，（II）b b b m , , , 1 2 L ，若每一个 (i m) i a = 1,2,L, 都可由 b b b m , , , 1 2 L 线性表出，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表出；当向 量组（I）与（II）可互相表出时，称向量组（I）与（II）等价。 (2) 线性相关：若存在一组不全为零的数 m t ,t , ,t 1 2 L ， 0 t 1a1 + t 2a2 +L+ tmam = ， 则称向量组a a am , , , 1 2 L 线性相关。 (3) 线性无关：若当且仅当 0 t 1 = t 2 = L = tm = 时， 0 t 1a1 + t 2a2 +L+ tmam = 才 成 立，则称a a am , , , 1 2 L 线性无关。 注 对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。 4.1.4 向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系 (1) b 可由a a am , , , 1 2 L 线性表出 Û 线性方程组[a1 ,a2 ,L,am ]x = b 有解 Û 矩 阵[ ] a a am , , , 1 2 L 的秩等于矩阵[a ,a , ,a , b ] 1 2 L m 的秩 (2) a a am , , , 1 2 L 线性相关 Û 齐次线性方程组[ , , , ] 0 a1 a2 L am x = 有非零解 Û 矩 阵[ ] a a am , , , 1 2 L 的秩小于 m (3) a a am , , , 1 2 L 线性无关 Û 齐次线性方程组[ , , , ] 0 a1 a2 L am x = 只有零解 Û 矩 阵[ ] a a am , , , 1 2 L 的秩等于 m 4.1.5 向量的线性相关性的有关结论 (1) 仅含一个向量a 的向量组线性相关Û a = 0 (2) 任何含有零向量的向量组必线性相关 (3) 含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关） 注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关 (4) 线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相 关） 注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (5) 任意 m 个 n 维向量，当m > n 时必线性相关 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn