第四章向量 4.1基本内容 4.1.1n维向量 01 n维列向量a= 与n维行向量B=6…b,]即为nx1及1xn矩阵， .: 因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。 注为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。 4.1.2 向量的内积 设a=[a1a2…aJ,B=[bb2…bn了 (1)定义 称 a,B）=ah+a,6++a,4=2a4 为向量，B的内积。 (2)性质 (a,β〉=(B,a）=a'B=B'a (a+B,Y〉=(a,y〉+(B,y） ka,β〉=ka,B) (a,a≥0 等号当且仅当=0时成立 (3)有关概念 向量的范数：个=Va,a=Va'a 单位向量：若个=1，则称a为单位向量。 1 向量的标准化（规范化）Q≠0称网个为a的标准化向量。 两向量的正交：若《Q,B〉=0，则称Q与B正交。 4.13线性组合，线性相关，线性无关的定义 设1,02，…，0m是一组n维向量 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
第四章 向量 4.1 基本内容 4.1.1 n 维向量 n 维列向量 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = an a a M 2 1 a 与 n 维行向量 [ ] n T b = b1 b2 K b 即为n ´1及1´ n 矩阵， 因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。 注 为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。 4.1.2 向量的内积 设 [ ] T n a a L a a = 1 2 ， [ ] T n b b L b b = 1 2 (1) 定义 称 å= = + + + = n i n n i i a b a b a b a b 1 1 1 2 2 a, b L 为向量a, b 的内积。 (2) 性质 a b b a a b b a T T , = , = = a + b,g = a,g + b,g ka, b = k a, b a,a ³ 0 等号当且仅当a = 0时成立 (3) 有关概念 向量的范数： a a a a a T = , = 单位向量：若 a = 1，则称a 为单位向量。 向量的标准化（规范化）；a ¹ 0称 a a 1 为a 的标准化向量。 两向量的正交：若 a, b = 0，则称a与b 正交。 4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义 设a a am , , , 1 2 L 是一组 n 维向量 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(1)线性组合：设阝是一个n维向量，若存在一组数，，…，'m,使 B=101+1202+…+1mCm 则称B为向量组1，C2…,Cm的一个线性组合，或称B可由向量组1,02，，0m线 性表出。 注设两组向量(D1,02,…0m,()B,B2,…Bnm,若每一个a,=1,2,…,m) 都可由B,P,…,Bm线性表出，则称向量组（①）可由向量组()线性表出：当向 量组(I)与（Ⅱ）可互相表出时，称向量组(I)与()等价。 (2)线性相关：若存在一组不全为零的数1，，…，1m,1+12C2+…+1m0m=0 则称向量组01,2，…，m线性相关。 (3)线性无关：若当且仅当=1=…=1m=0时，41+1242++1mm=0才 成 立，则称12，m线性无关。 注对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。 4.1.4向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系 ()B可由a1,a2,,am线性表出一线性方程组1，a,,amr=B有解一矩 阵1，C2,…,anm]的秩等于矩阵1,2，…，m的秩 (2)a,4,…,0m线性相关台齐次线性方程组，，…，am]K=0有非零解台矩 阵1，a2,…,am]的秩小于m (③)a,42,…,am线性无关一齐次线性方程组口1,2，…，ank=0只有零解台矩 阵1，C2,…,an]的秩等于m 4.1.5向量的线性相关性的有关结论 (1)仅含一个向量的向量组线性相关台a=0 (2)任何含有零向量的向量组必线性相关 (3)含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关） 注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关 (④)线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相 关) 注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (5)任意m个n维向量，当m>n时必线性相关 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
(1) 线性组合：设 b 是一个 n 维向量，若存在一组数 m t ,t , ,t 1 2 L ，使 m m b = t 1a1 + t 2a2 +L+ t a 则称 b 为向量组a a am , , , 1 2 L 的一个线性组合，或称 b 可由向量组a a am , , , 1 2 L 线 性表出。 注 设两组向量（I）a a am , , , 1 2 L ，（II）b b b m , , , 1 2 L ，若每一个 (i m) i a = 1,2,L, 都可由 b b b m , , , 1 2 L 线性表出，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表出；当向 量组（I）与（II）可互相表出时，称向量组（I）与（II）等价。 (2) 线性相关：若存在一组不全为零的数 m t ,t , ,t 1 2 L ， 0 t 1a1 + t 2a2 +L+ tmam = ， 则称向量组a a am , , , 1 2 L 线性相关。 (3) 线性无关：若当且仅当 0 t 1 = t 2 = L = tm = 时， 0 t 1a1 + t 2a2 +L+ tmam = 才 成 立，则称a a am , , , 1 2 L 线性无关。 注 对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。 4.1.4 向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系 (1) b 可由a a am , , , 1 2 L 线性表出 Û 线性方程组[a1 ,a2 ,L,am ]x = b 有解 Û 矩 阵[ ] a a am , , , 1 2 L 的秩等于矩阵[a ,a , ,a , b ] 1 2 L m 的秩 (2) a a am , , , 1 2 L 线性相关 Û 齐次线性方程组[ , , , ] 0 a1 a2 L am x = 有非零解 Û 矩 阵[ ] a a am , , , 1 2 L 的秩小于 m (3) a a am , , , 1 2 L 线性无关 Û 齐次线性方程组[ , , , ] 0 a1 a2 L am x = 只有零解 Û 矩 阵[ ] a a am , , , 1 2 L 的秩等于 m 4.1.5 向量的线性相关性的有关结论 (1) 仅含一个向量a 的向量组线性相关Û a = 0 (2) 任何含有零向量的向量组必线性相关 (3) 含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关） 注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关 (4) 线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相 关） 注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (5) 任意 m 个 n 维向量，当m > n 时必线性相关 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(6)向量组1,2，，0m(m≥2)线性相关台1,2，…，0m中至少有一个向量可 由其余向量线性表出 (7)向量组1，，Cm线性无关，而1,2，“，mB线性相关白B可由 1,C2,…,0m线性表出，且表达式唯一 (8)若向量组(I),2,…,0,线性无关，且可由向量组()B,B,,B线性表 出，则r≤S (9)不含零向量的正交向量组必线性无关 4.1.6向量组的极大无关组与向量组的秩 (1)定义：设()0，…，，是()2，…，Cm的一个部分组，并且满足： ①a…,,线性无关，②()中任一向量xk=1,2,…,m)都可由() 线性表出。则称部分组()为原向量组()的一个极大无关组，并称数r为向 量组()的秩，记作r()或ra1,a2,,0m} 注一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数 必是相等的，即为该向量组的秩 (2)性质： ①线性无关向量组的极大无关组即为其本身 ②向量组与其任一极大无关组等价 ③向量组的任意两个极大无关组等价 ④等价向量组的极大无关组等价 ⑤等价向量组的秩相等，但其逆不成立 ⑥若向量组的秩为，则其中任意r个线性无关的向量都是它的一个极大无关 组 (3)向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 将m×n矩阵A按行或列分块 a7 A= =[B1B2… B.] aT 向量组（①）a,,…,a,()B,B,…,Bn分别为A的行向量组与列向量 组，则r(A)=r(I)=r(Ⅱ) 注1由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式 注2，，…，m线性无关一r(A)=m B,P2,,Pn线性无关台r(A)=n PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
(6) 向量组a a am , , , 1 2 L (m ³ 2) 线性相关 Û a a am , , , 1 2 L 中至少有一个向量可 由其余向量线性表出 (7) 向量组 a a am , , , 1 2 L 线 性 无 关， 而 a1 ,a2 ,L,am , b 线 性 相 关 Û b 可 由 a a am , , , 1 2 L 线性表出，且表达式唯一 (8) 若向量组（I）a a ar , , , 1 2 L 线性无关，且可由向量组（II）b b bs , , , 1 2 L 线性表 出，则 r £ s (9) 不含零向量的正交向量组必线性无关 4.1.6 向量组的极大无关组与向量组的秩 (1) 定义：设（I） r ai ai ai , , , 1 2 L 是（II）a a am , , , 1 2 L 的一个部分组，并且满足： ① r ai ai ai , , , 1 2 L 线性无关，②（II）中任一向量 (k m) k a = 1,2,L, 都可由（I） 线性表出。则称部分组（I）为原向量组（II）的一个极大无关组，并称数 r 为向 量组（II）的秩，记作 r（II）或 r{a1 ,a2 ,L,am } 注 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数 必是相等的，即为该向量组的秩 (2) 性质： ① 线性无关向量组的极大无关组即为其本身 ② 向量组与其任一极大无关组等价 ③ 向量组的任意两个极大无关组等价 ④ 等价向量组的极大无关组等价 ⑤ 等价向量组的秩相等，但其逆不成立 ⑥ 若向量组的秩为 r，则其中任意 r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关 组 (3) 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 将m ´ n 矩阵 A 按行或列分块 [ ] n T m T T A b b b a a a L M 1 2 2 1 = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 向量组（I） T m T T a1 ,a2 ,L,a ，（II） b b bn , , , 1 2 L 分别为 A 的行向量组与列向量 组，则 r（A）=r（I）=r（II） 注 1 由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式 注 2 T m T T a1 ,a2 ,L,a 线性无关Û r（A）=m b b bn , , , 1 2 L 线性无关Û r（A）=n PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
注3上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变 换 4.1.7极大无关组的求法 (1)录选法 ①在向量组中任取一个非零向量作为“， ②取一个与“，的对应分量不成比例的向量作为与 ③取一个不能由，线性表出的向量作为，继续作下去便可求得极大 无关组 注这一方法仅适合于向量组中向量个数较少的情形 (2)行初等变换法 第一种方法：将向量组中各向量作为矩阵的行 ①对A进行行初等变换化为行梯形阵 ②将所做过的行对换回去 则非全零行所对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 第二种方法：将向量组中各向量作为矩阵的列 ①对A进行行初等变换化为行梯形阵 ②在每个阶梯上取一列 则对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 4.1.8向量空间 (①)定义：在非空集合V的元素间定义加法a+B和数乘ka,若V对所定义的加 法与数乘封闭，即任意的a,B∈V有a+B∈V,ka∈'，且加法满足： ①a+B=B+a ②(C+B)+y=a+(B+y) ③存在零元素0∈V,有a+0=a ④对任一元素a,存在负元素-a,使a+(-)=0 数乘满足： ⑤1·a=a ⑥k(la)=(kl)a 两种运算满足： ⑦k(a+B)=ka+kB ⑧(k+)a=ka+la PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
注 3 上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变 换 4.1.7 极大无关组的求法 (1) 录选法 ① 在向量组中任取一个非零向量作为 1 ai ② 取一个与 1 ai 的对应分量不成比例的向量作为 2 ai ③ 取一个不能由 1 ai ， 2 ai 线性表出的向量作为 3 ai ，继续作下去便可求得极大 无关组 注 这一方法仅适合于向量组中向量个数较少的情形 (2) 行初等变换法 第一种方法：将向量组中各向量作为矩阵的行 ① 对 A 进行行初等变换化为行梯形阵 ② 将所做过的行对换回去 则非全零行所对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 第二种方法：将向量组中各向量作为矩阵的列 ① 对 A 进行行初等变换化为行梯形阵 ② 在每个阶梯上取一列 则对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 4.1.8 向量空间 (1) 定义：在非空集合 V 的元素间定义加法 a + b和数乘ka ，若 V 对所定义的加 法与数乘封闭，即任意的a, b ÎV有a + b ÎV，ka ÎV ，且加法满足： ①a + b = b +a ②(a + b ) + g = a + (b + g ) ③ 存在零元素0ÎV，有a + 0 = a ④ 对任一元素a ，存在负元素 -a ，使a +（-a）= 0 数乘满足： ⑤1×a = a ⑥k(la) = (kl)a 两种运算满足： ⑦k(a + b ) = ka + kb ⑧(k + l)a = ka + la PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
则称带有这种线性运算的集合V为线性空间，若线性空间中的元素为向量，就称为向 量空间，我们仅讨论向量空间。 注所有n维向量所构成的向量集对向量的线性运算构成一个向量空间R”,本书中 所讨论的向量空间仅限于R”或其子空间 (②)子空间：设有向量空间，，若=，则称为'的子空间 注向量空间V的一个非空子集，若对V上的线性运算封闭则是V的子空间 (3)生成空间：设有向量组1,2，，Qm,则01,2，…，m的所有线性组合构成的 向量空间，称为由1,2…m生成的空间，记作pana1,a2,…,am,即 span(C1,a2,…,am)={a=l11+1302+…+tat∈R,i=l1,2,…,m} 4.1.9向量空间的基和维数 (1)基与维 若向量空间V中的一组向量01,2，·，0，满足： ①%1,02，…，0，线性无关 ②每个a∈/，a可由1，a2,…,,，即=la+t2a2+…+1,0,,则称 1,2,,,为V的一组基，其所含向量个数r为向量空间V的维数，记作dimV=r, 也称V为r维向量空间，而称系数l1,2,,,为a在基1,2，…，0，下的坐标。 注1一个向量空间V的基一般不止一个，但任一组基所含向量个数是固定的， 即为dimV,可以推出dimR"=n 注2向量在一组基下的坐标是唯一的 注3任一向量空间V必是其一组基，2，，的生成空间，即 V=Span(C1,42,…,0,） *(2)基变换与坐标变换 ① 设C1,42,…,an和B,B,,Bn是向量空间R”的两组基，且 B1=101+121a2+…+1n1an β2=l12a1+12202+…+1n2Cn g。g8。 Bn =tna+1nd2++Imam PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.fineprint.cn
则称带有这种线性运算的集合 V 为线性空间，若线性空间中的元素为向量，就称为向 量空间,我们仅讨论向量空间。 注 所有 n 维向量所构成的向量集对向量的线性运算构成一个向量空间 n R ，本书中 所讨论的向量空间仅限于 n R 或其子空间 (2) 子空间：设有向量空间 1 2 V ,V ，若V1 Í V2 ，则称V1为V2 的子空间 注 向量空间 V 的一个非空子集，若对 V 上的线性运算封闭则是 V 的子空间 (3) 生成空间：设有向量组a a am , , , 1 2 L ，则a a am , , , 1 2 L 的所有线性组合构成的 向量空间，称为由a a am , , , 1 2 L 生成的空间，记作 ( ) m span a1 ,a2 ,L,a ，即 span(a1 ,a2 ,L,am ) = {a = t 1a1 + t 2a2 +L+ tmam | t i Î R,i = 1,2,L, m} 4.1.9 向量空间的基和维数 (1) 基与维 若向量空间 V 中的一组向量a a ar , , , 1 2 L 满足： ①a a ar , , , 1 2 L 线性无关 ② 每 个 a ÎV,a可由 a a ar , , , 1 2 L ， 即 r r a = t 1a1 + t 2a2 +L+ t a ，则称 a a ar , , , 1 2 L 为V的一组基，其所含向量个数r为向量空间V的维数，记作dimV = r ， 也称 V 为 r 维向量空间，而称系数 r t ,t , ,t 1 2 L 为a 在基a a ar , , , 1 2 L 下的坐标。 注1 一个向量空间 V 的基一般不止一个，但任一组基所含向量个数是固定的， 即为dimV ，可以推出 R n n dim = 注2 向量a 在一组基下的坐标是唯一的 注3 任 一向量 空 间 V 必 是 其 一 组 基 a a ar , , , 1 2 L 的 生 成 空 间 ， 即 ( )r V = span a1 ,a2 ,L,a *（2）基变换与坐标变换 ① 设a a an , , , 1 2 L 和 b b bn , , , 1 2 L 是向量空间 n R 的两组基，且 ï ï î ï ï í ì = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n t t t t t t t t t b a a a b a a a b a a a L LL L L 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
上式称为由基a,a,,an到B,B,,Bn的基变换公式，若记T=化，m,则 基变换公式可表示为 [BB2…Bn]=[a1a2…an]' 矩阵T称为基C1,2,…,Cn到基B,B,,Bn的过渡矩阵 注过渡矩阵必可逆 ②对V中任一向量a,若a在基a1,a2,,an与基B,B,,B。下的坐标分别 为x1x2,,xn和，2，…，yn,则由 au=x41+x242+…+x0n=[a1a2… … x a=当B+B2+…+ynBn=[BB2…Bn】 y2 y 可得压x2…x了=Tyy2…y了 y 「x 2 =T-l 子 : 或Lyn」 称为坐标变换公式 4.1.10 施密特正交化方法 任给V中的一组基1，C2,“,,可由施密特正交化过程构造出一组新的正交基 B1,B2,…,B, B=a 阝2=02- a B,=, B,aB-… (BB (B,B） (B-,B-） 4.1.11 标准正交基 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
上式称为由基a a an , , , 1 2 L 到 b b bn , , , 1 2 L 的基变换公式，若记 ( ) n n ij T t ´ = ，则 基变换公式可表示为 [ ] [ ] T b1 b2 L bn = a1 a2 L an 矩阵 T 称为基a a an , , , 1 2 L 到基 b b bn , , , 1 2 L 的过渡矩阵 注 过渡矩阵必可逆 ② 对 V 中任一向量a ，若a 在基a a an , , , 1 2 L 与基 b b bn , , , 1 2 L 下的坐标分别 为 n x , x , , x 1 2 L 和 n y , y , , y 1 2 L ，则由 [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = + + + = n n n n x x x x x x M L L 2 1 a 1a1 2a2 a a1 a2 a [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = + + + = n n n n y y y y y y M L L 2 1 a 1b1 2b2 b b1 b2 b 可得[ ] [ ] T n T n x x L x T y y L y 1 2 = 1 2 或 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - n n x x x T y y y M M 2 1 2 1 1 称为坐标变换公式 4.1.10 施密特正交化方法 任给 V 中的一组基a a ar , , , 1 2 L ，可由施密特正交化过程构造出一组新的正交基 b b br , , , 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 , , , , , , - - - - = - - - = - = r r r r r r r r b b b b a b b b b a b a b b b b a b a b a L LL 4.1.11 标准正交基 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(1)定义：若V的一组基1,2…，1，满足 m》-8/ 6j=1,2,…,r） 则称1,2，…，1，是V的一组标准（规范）正交基。 (2)求法：第一种：对V中的任一组基1C2“,,可先由施密特正交化方法，得 到一组正交基B,B,,B,再把每个B单位化 %风Bk=2.月 1 得到的1,2，…，1，即为V的标准正交基 a2 ≠0，a∈R" 第二种：对任一 ,可以扩充为R”的一组标准正交 基，设x=西…x厂满足任，）=0即 ax1+a2x2+…+anxn=0(*) 求得(*)的一个基础解系B,B…,Bn-1,从而a,B,B,…,Pm-1必为R”的 “组基，再由第一种方法得到一组标准正交基 4.1.12正交矩阵 (I)A为正交矩阵的定义是：A满足A4=A「A=I(或AI=A) (2)A为正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组为标准正交向量组 注由(2)可知，若1,2，“，m是R”的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准 正交基，2，，m,以它们为列作出矩阵 0=hn2…nn] 则Q必为正交阵。 (3)正交阵的性质： 若A为正交阵，则个=±山且4'，4，A'均为正交阵 若B也为正交阵，则AB也是正交阵 4.1.13齐次线性方程组Ax=0的解空间(A为m×n矩阵) PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
(1) 定义：若 V 的一组基h h hr , , , 1 2 L 满足 (i j r) i j i j i j , 1,2, , 1 0 , = L î í ì = ¹ h h = 则称h h hr , , , 1 2 L 是 V 的一组标准（规范）正交基。 (2) 求法：第一种：对 V 中的任一组基a a ar , , , 1 2 L 可先由施密特正交化方法，得 到一组正交基 b b br , , , 1 2 L ，再把每个 bk 单位化 ( 1,2, , ) 1 k r k k t = b = L b h 得到的h h hr , , , 1 2 L 即为 V 的标准正交基 第二种：对任一 n n ¹ Î R ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = a a a a a 0, 2 1 M ，可以扩充为 n R 的一组标准正交 基，设 [ ] T n x x x L x = 1 2 满足 x,a = 0即 0 (*) a1 x1 + a2 x2 +L+ an xn = 求得（*）的一个基础解系 1 2 1 , , , b b L bn- ，从而 1 2 1 , , , , a b b L bn- 必为 n R 的 一组基，再由第一种方法得到一组标准正交基 4.1.12 正交矩阵 (1) A 为正交矩阵的定义是：A 满足 AAT = A T A = I(或A T = A -1） (2) A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列（行）向量组为标准正交向量组 注 由(2)可知，若a a an , , , 1 2 L 是 n R 的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准 正交基h h hn , , , 1 2 L ，以它们为列作出矩阵 [ ] Q = h1 h2 L hn 则 Q 必为正交阵。 (3) 正交阵的性质： 若 A 为正交阵，则 1 * A 1, A , A , A T - = ± 且 均为正交阵 若 B 也为正交阵，则 AB 也是正交阵 4.1.13 齐次线性方程组 Ax=0 的解空间（A 为 m ´ n 矩阵） PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
齐次线性方程组Ax=0若有非零解，则其全体解构成一个向量空间，称为Ax=0的解 空间，记作N(A) (1)Ax=0的一个基础解系即为N(A)的一组基，故基础解系不唯一。 (2)Ax=0的每一个基础解系所含向量个数n-r(A)即为dimV(A)是固定的 (③)若已知，，，“-是Ax=0的一个基础解系，则 N(A)=spanla1a2·an-rt4】 (4)从而Ax=0的通解 x=Ia+ta2+.+In-r()an-r(4) 其中1,2，…，ln-()为任意常数 注由于基础解系不唯一，故通解形式不唯一。 4.2典型例题分析 1)向量a可由向量组B,P,,Pm线性表出的判定 方法：(1)用定义 (2)a可否由B,B,,Bm线性表出等价于线性方程组 [B,B2…Bnr=a是否有解。 例1设 a=21,B=11',B2=1-1-,B=-11- B4=-1-1,问a可否由B,P2,B,B:线性表出，若可以，请写出线性表 示式。 a=x1B+x22+xB3+xB=[B B2 B:B] 解设 记x=[xxxx,则问题转化为方程组B,B,B,B,r=a是否有解。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
齐次线性方程组 Ax=0 若有非零解，则其全体解构成一个向量空间，称为 Ax=0 的解 空间，记作 N（A） (1) Ax=0 的一个基础解系即为 N（A）的一组基，故基础解系不唯一。 (2) Ax=0 的每一个基础解系所含向量个数 n-r（A）即为dimN(A) 是固定的 (3) 若 已 知 1 2 ( ) , , , a a L an-r A 是 Ax=0 的一个 基 础 解 系 ， 则 ( ) 1 2 ( ) ( ) n r A N A = span a a L a - (4) 从而 Ax=0 的通解 1 1 2 2 n r( A) n r(A) x t t t = a + a +L+ - a - 其中 1 2 ( ) , , , n r A t t t L - 为任意常数 注 由于基础解系不唯一，故通解形式不唯一。 4.2 典型例题分析 1) 向量a 可由向量组 b b bm , , , 1 2 L 线性表出的判定 方法：(1)用定义 (2) a 可 否 由 b b bm , , , 1 2 L 线 性 表 出 等 价 于 线性方 程 组 [b1 b2 L bn ]x = a 是否有解。 例 1 设 [ ] [ ] [ ] [ ] T T T T 1 2 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 a = b1 = b2 = - - b3 = - - [ ] T 1 1 1 1 b4 = - - ，问a 可否由 1 2 3 4 b , b , b , b 线性表出，若可以，请写出线性表 示式。 解 设 [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = + + + = 4 3 2 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 x x x x a x b x b x b x b b b b b 记 [ ] T x x x x x = 1 2 3 4 ，则问题转化为方程组[b1 b2 b3 b4 ]x = a 是否有解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
[11111 「1111：1 11-1-1:2 0 0 -2-2:1 B B2 B:Ba]= 1-11-1:1 0-20-2:0 1-1-11 :1 0-2-2 0:0 1000: 「10 0 1:17 4 00 0 1: 1 010 0: 4 4 00-11:0 0010: 010 1:0 1 0001: 4 可见可由B,P,B,B4唯一线性表示，且 1 4 例2 a1=023,a2=135,a=1-1a+2y,a4=24a+8 B=11b+35 (1)a,b为何值时，阝不能表示成1,2，，4的线性组合？ (2)a,b为何值时，B可由1,02,0,4唯一线性表出？ 解设B=4a+%,+1,+L,a4则 41+2+13+14=1 52-13+214=1 21+3t2+(a+2)43+414=b+3 311+512+43+(a+8)14=5 其增广矩阵 [11 1 1:17 [111 1:1 01-1 2 :1 7= 0 1-1 2 :1 23a+24:b+3 0 0a+1 0:b 351 a+8:5 000a+1:0 当a=-1,b≠0时，r(A)=2,r(A)=3,可知方程组无解，即B不能表示成1,2,3,4 的线性组合。 当a≠-1时，方程组有唯一解，故阝可由1,2,03,04线性表出，且表达式唯一，表 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.fineprint.cn
[ ] ú ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ë é - - ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - - = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - = 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 1 0 4 1 0 1 0 0 4 5 1 0 0 0 ~ 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 4 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 2 1 1 1 1 1 1 ~ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 3 4 M M M M M M M M M M M M M M M M b b b b Ma 可见a 可由 1 2 3 4 b , b , b , b 唯一线性表示，且 1 2 3 4 4 1 4 1 4 1 4 5 a = b + b - b - b 例 2 [ ] [ ] [ ] [ ] T T T T 1 0 2 3 , 1 1 3 5 , 1 1 a 2 1 , 1 2 4 a 8 a1 = a2 = a3 = - + a4 = + [ ] T b = 1 1 b + 3 5 (1) a,b 为何值时， b 不能表示成 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 的线性组合？ (2) a,b 为何值时， b 可由 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 唯一线性表出？ 解设 b 1a1 2a2 3a3 4a4 = t + t + t + t 则 ï ï î ï ï í ì + + + + = + + + + = + - + = + + + = 3 5 ( 8) 5 2 3 ( 2) 4 3 2 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 t t t a t t t a t t b t t t t t t t 其增广矩阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + + - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + + + - = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ~ 3 5 1 8 5 2 3 2 4 3 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ~ M M M M M M M M a a b a a b A 当a = -1, b ¹ 0 时，（r A）=2，（r A ~ ）=3，可知方程组无解，即 b 不能表示成 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 的线性组合。 当a ¹ -1时，方程组有唯一解，故 b 可由 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 线性表出，且表达式唯一，表 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
达式为 B=、 2b a+b+1 1+ a+1 a3+004 a+1 a+1 2)线性相关性的判定 常用方法：(1)从定义出发： (2)利用矩阵秩或行列式： (3)利用性质。 17 「17 -17 0 4 2 02= 0 C3= -8 例3己知 1 2 k」线性相关，求k 解解法一（利用矩阵的秩） 「1 1 -17 [「11 -1 10 -4 0 -1 -3 A=a a2 a]= 2 0 -8 0 0k-2 12 k 0 0 0 由1,2,3线性相关可知必有r(A))线性无关，且B=a+a,++m,判断向量 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建www.fineprint.cn
达式为 1 2 3 0 4 1 1 1 1 2 b a a a + ×a + + + + + + + = - a b a a b a b 2) 线性相关性的判定 常用方法：(1)从定义出发； (2)利用矩阵秩或行列式； (3)利用性质。 例 3 已知 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = k 8 4 1 2 0 0 1 1 2 1 1 a1 a2 a3 线性相关，求 k 解 解法一（利用矩阵的秩） [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - = = 0 0 0 0 0 2 0 1 3 1 1 1 ~ 1 2 2 0 8 1 0 4 1 1 1 1 2 3 k k A a a a 由 1 2 3 a ,a ,a 线性相关可知必有 r（A） 线性无关，且 b = a1 +a2 +L+am ，判断向量 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
