第7章 统计假设检脸和区间估计 统计假设检验概要 ·单正态总体的统计检验 两正态总体的统计检验 正态总体的区间估计 需要说明的问题
•统计 检验概要 •单正态总体的统计检验 •两正态总体的统计检验 •需要说明的问题 •正态总体的区间估计
统计检验概要 利用样本检验统计假设真伪的过程叫做 统计检验（假设检验） 1.统计检验的基本思想 (1)小概率原理（实际推断原理）认为概率很小的事件在 次试验中实际上不会出现，并且小概率事件在一次试验中 出现了，就被认为是不合理的 (2)基本思想先对总体的参数或分布函数的表达式做出某 种假设，然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小 的（条件）小概率事件.如果试验或抽样的结果使该小概率 事件出现了，表明原来的假设有问题，应予以否定，即拒绝 这个假设.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现， 就没有理由否定这个假设，可以接受原来的假设
(1)小概率原理(实际推断原理)认为概率很小的事件在一 次试验中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试验中 出现了,就被认为是不合理的. (2)基本思想 先对总体的参数或分布函数的表达式做出某 种假设,然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小 的(条件)小概率事件.如果试验或抽样的结果使该小概率 事件出现了, 表明原来的假设有问题,应予以否定,即拒绝 这个假设.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现, 就没有理由否定这个假设, 可以接受原来的假设. 1.统计检验的基本思想 统计检验概要 利用样本检验统计假设真伪的过程叫做 统计检验(假设检验)
(3)显著性水平与否定域 小概率原理中，关于“小概率”的值通常根据实际问题的 要求而定，如取a=0.1,0.05,0.01等 a为检验的显著性水平（检验水平）：
小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据实际问题的 要求而定,如取α=0.1,0.05,0.01等, α为检验的显著性水平(检验水平). (3) 显著性水平与否定域
o(x) P(ZPz1-w2)戶a /2 /2 Z1-c2 Zt-al2 X 否定成 ◆ 安受或 否足或 注意： 否定域的大小，依赖于显著性水平的取值， 一般说来，显著性水平越高，即α越小，否定域也越小，这 时原假设就越难否定
α/2 α/2 X φ(x) 接受域 P(|Z|>z1-α/2)=α 否定域的大小,依赖于显著性水平的取值, 一般说来,显著性水平越高,即α越小,否定域也越小,这 时原假设就越难否定. 注意: 否定域 否定域 z1-α/2 - z1-α/2
2.统计检验的实施程序 1) 提出待检验的原假设H和备则假设H,; (2)选择检验统计量，并找出在假设H。 成立条件下，该统计量所服从的分布， (3)根据所要求的显著性水平α和所选取的统计量，确定 个合理的拒绝H的条件， (4) 由样本观察值计算出统计检验量的值，若该值落入否 定域，则拒绝原假设H,否则接受原假设H。 注若H位于H的两侧，称之为双侧检验， 若H位于H的一侧，称之为单侧检验
(1) 提出待检验的原假设 和备则假设 ; H0 H1 (2) 选择检验统计量,并找出在假设 成立条件下,该统计量所服从的分布; H0 (3) 根据所要求的显著性水平α 和所选取的统计量,确定一 个合理的拒绝H0的条件; (4) 由样本观察值计算出统计检验量的值,若该值落入否 定域,则拒绝原假设H0,否则接受原假设 . H0 注 若H1位于H0的两侧,称之为双侧检验; 若H1位于H0的一侧,称之为单侧检验. 2.统计检验的实施程序
弃真 ≤OX 3.两类错误 取伪 根据小概率原理否定原假设，有可能把本来客观上正确的 假设否定了，造成犯“弃真”的错误，称为第一类错误， Q就是犯第一类错误的概率的最大允许值 另一方面，当原假设不成立时，却作出接受原假设的结论， 造成犯“取伪”的错误，称为第二类错误， 般用B表示犯第二类错误的概率。 当样本容量n一定时，小，B就大，反之，B外，C就大 另外，一般a+B≠1 注意： 增大样本容量n时，可以使a和B同时减小
另一方面,当原假设不成立时,却作出接受原假设的结论, 造成犯“取伪”的错误,称为第二类错误, 就是犯第一类错误的概率的最大允许值. 一般用 表示犯第二类错误的概率. 根据小概率原理否定原假设,有可能把本来客观上正确的 假设否定了,造成犯“弃真”的错误,称为第一类错误, 弃真 取伪 当样本容量n 一定时,小, 就大,反之,小, 就大. 另外,一般 1 3.两类错误 注意: 增大样本容量n时,可以使α和β同时减小
单正态总体的统计检验 设总体XN(以，o2),X1,X2,…,Xn为一组样本， 1.期望的检验 (1)总体方差σ已知时 ①H:μ=o(已知)；H1μ≠0 1)提出原假设和备择假设： H0μ=0，H1呋0 2)确定检验统计量：Z= ~N(0,1) 3)对给定a,由原假设成立时P(Z>z12=a得 拒绝条件为ZPZ12,其中， (Z)=1- 2
2) 确定检验统计量: | 0成立 / 0 H n X Z ~ N(0,1) 设总体X~N(μ,σ2), X1 ,X2 ,…,Xn为一组样本， (1) 总体方差σ2已知时 1 2 ( ) 1 . 2 Z ① H0:μ=μ0(已知); H1:μ≠μ0 1) 提出原假设和备择假设: H0 :μ=μ0 ; H1 :μ≠μ0 , 3) 对给定α,由原假设成立时P(|Z|> z1-α/2)=α得 拒绝条件为|Z|> z1-α/2 ,其中, 1.期望的检验 单正态总体的统计检验
p(x) P(ZPz1-a2戶a Z检验 /2 0W2 Z1-2 X 否定成或 ◆ 安受或 否足成或 双侧统计检验
α/2 α/2 X φ(x) 接受域 P(|Z|>z1-α/2)=α 否定域 否定域 z1-α/2 - z1-α/2 双侧统计检验 Z检验
例：用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体含量 服从正态分布N(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据 23,21,19,24,18,18(单位：十万分之一)，若用简便方法测得有害气体含量 的方差不变，问用该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差？ 分析用简便方法测得有害气体含量X~N(u,22), 基本检验H0:=023, 备择检验H1:呋023， 若H成立，则 =-N(0.1) 若取a=0.05,则P{Z>z1-2}=a,即：P{IZP1.96=0.05 在假设成立的条件下，Z>1.96为概率很小事件，一般认为： 小概率事件在一次实验中是不会发生的， 将样本观测值代入Z得Z=X-23=306Z196 小概率事件在一次实验中发生了，故假设不合情理
例:用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体含量 服从正态分布N(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据 23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),若用简便方法测得有害气体含量 的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差? 分析 用简便方法测得有害气体含量X~N(μ,2 2), 若H0成立,则 ~ (0,1) / 0 N n X Z 若取α=0.05,则 P{|Z|>z1-α/2}=a, 即: P{|Z|>1.96}=0.05, 在假设成立的条件下,|Z|>1.96为概率很小事件,一般认为: 小概率事件在一次实验中是不会发生的, 将样本观测值代入Z得 3.06, 2/ 23 n X Z |Z|>1.96, 基本检验H0 : μ=μ0=23; 备择检验H1 : μ≠ μ0= 23; 小概率事件在一次实验中发生了,故假设不合情理, 即:否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差
(2)σ未知，n的检验 1)提出原假设和备择假设： (T检验) H0u=0,H1味0， 2)选择检验统计量： ↑fx) T= X /2 a/2 S/√n la成~t(n-l) 3)对给定，拒绝条件为 ■■■■ …n0HX T>t1-a2(n-1) 受或 否足或 否定或
2) 选择检验统计量： 1) 提出原假设和备择假设: H0 :μ=μ0 ; H1 :μ≠μ0 , 3) 对给定α,拒绝条件为 |T|> t1-α/2(n-1) | 0成立 / 0 H S n X T ~ t( n 1) 1 /2 t (n 1) X f(x) α/2 α/2 接受域 否定域 否定域 (T检验） (2) σ2未知,μ的检验