第4章 随机变量的数字特征 第4.1节 随机变量的期望 第4.2节 随机变量的方差 第4.3节 随机向量的数字特征 返回
返回 •第4.1节 随机变量的期望 •第4.2节 随机变量的方差 •第4.3节 随机向量的数字特征
第4.1节 随机变量的数学期望 例1检验两批灯泡的质量，从中分别随机抽样5只， 测得使用寿命（单位：小时）如下： A:2000150010005001000: B:15001500100010001000: 试比较这两批灯泡质量的好坏 计算得：平均寿命分别为：A:1200,B:1200 数学期望 方差 观察得：A中使用寿命偏离较大，B中使用寿命偏离较小 所以，B产品质量较好 返回
返回 例1 检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只, 测得使用寿命(单位：小时)如下: A: 2000 1500 1000 500 1000; B: 1500 1500 1000 1000 1000; 试比较这两批灯泡质量的好坏. 计算得: 平均寿命分别为:A:1200, B:1200, 观察得: A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小, 所以,B产品质量较好. 数学期望 方差 第4.1节 随机变量的数学期望
例2：甲同学数学（6学分)得80分 ，统计学（3学 分)得90分，军事理论(1学分)得100，乙同学 数学(6学分)得90分，统计学(3学分)得80分， 军事理论(1学分)的75分，则 甲总分(270)>乙总分(245) 且甲加权平均(85)<乙加权平均(85.5) 85= 6 80+3 ×90+ ×100 0 10 6 10 ×90+ 80+1 ×75=85.5 10 0 返回
返回 例2:甲同学数学（6学分）得80分 ，统计学（3学 分）得90分，军事理论（1学分）得100，乙同学 数学（6学分）得90分，统计学（3学分）得80分， 军事理论（1学分）的75分，则 甲总分(270)>乙总分(245)， 且甲加权平均(85)<乙加权平均(85.5) 75 85.5 10 1 80 10 3 90 10 6 100 10 1 90 10 3 80 10 6 85
(1)离散型随机变量的数学期望 定义设离散型随机变量X的概率分布为P(X-Xn=pn,n=1,2,… 若级数∑xP.绝对收敛，则称该级数为X的数学期望，记为 n EX=∑xnPm 若∑x,Pn非绝对收敛，即级数∑x,P发散， n 则称X的数学期望不存在 例如 X-1 10 2 0.20.10.40.3 则 EX=∑x,Pn=-1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8 注意 数学期望反映了随机变量取值的平均值， 它是一种加权平均 返回
返回 定义 设离散型随机变量X的概率分布为P(X=xn)=pn ,n=1,2,..., 若级数 绝对收敛,则称该级数为X的数学期望,记为 n n n x p EX= n n n x p 若 n n pn x 非绝对收敛,即级数 n n n | x | p 发散, 则称X的数学期望不存在. 例如 X -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.4 0.3 则 EX= n n pn x =-1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8 注意 数学期望反映了随机变量取值的平均值, 它是一种加权平均. (1) 离散型随机变量的数学期望
计算可得 (1)若X服从参数为p的0-1分布，则EX=p: (EX=0X(1-p+1×p=p) (2)若X~B(n,p),则EX=np, kCn(1-p)-*=p∑Cp-(1-pr=p k= (3)若X服从参数为的泊松分布，则EX=入. 返回
返回 计算可得 (1)若X服从参数为p的0-1分布,则EX=p; (EX=0×(1-p)+1×p=p) (2)若X~B(n,p),则EX=np; 1 1 1 1 1 1 1 n n k k n k k k n k n n k k kC p ( p ) np C p ( p ) np 1 1 1 1 k k k k k e e k ! ( k )! (3)若X服从参数为λ的泊松分布,则EX= λ
X 1000 例3某电子元件使用寿命X~f(x)=1000 x>0 x≤0 使用寿命在500小时以下为废品，产值0元，500到1000小时之 间为次品，产值10元，1000到1500小时之间为二等品，产值30 元；1500小时以上为一等品，产值为40元，求产品的平均产值 解设Y表示产值，Y取值为0,10,30,40， (Y-)=PX500)00=- PY=10FP503X<100)-7002m=e5-e 类似可得：P(Y=30)=e-l-e-1.5, PY=40)=e-1.5 EY=0×(1-e0.5)+10×(e-0.5-e1+30×(e-1-e-15)t40×e-1.s =15.65(元) 返回
返回 例3 某电子元件使用寿命X~ 0 0 0 1000 1 ( ) 1000 x e x f x x 使用寿命在500小时以下为废品,产值0元;500到1000小时之 间为次品,产值10元;1000到1500小时之间为二等品,产值30 元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求产品的平均产值. 解 设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40, P(Y=0)= P(X<500) 500 f ( x )dx 500 0 1000 x e dx 1000 1 =1-e -0.5 P(Y=10)= P(500≤X<1000) 1000 500 1000 x e dx 1000 1 =e -0.5-e -1 类似可得: P(Y=30)=e -1-e -1.5 , P(Y=40)=e -1.5 EY=0× (1-e -0.5)+10 × (e -0.5-e -1 )+30×( e -1-e -1.5 )+40× e -1.5 =15.65(元)
(2)连续型随机变量的数学期望 定义设X是连续型随机变量，Xfx),若f(x)d 绝对收敛，则称该积分为X的数学期望，记为： EX= (x)d 否则称X的数学期望不存在 例4若X服从[a,b]区间上的均匀分布，求EX 解 X~f(x)=b-a x∈[a,b] 其它 所以N-0x-，。62a 11 a+b a 2 返回
返回 定义 设X是连续型随机变量,X~f(x),若 xf ( x )dx 绝对收敛,则称该积分为X的数学期望,记为: EX= xf ( x )dx 例4 若X服从[a,b]区间上的均匀分布,求EX. 0 其它 [ , ] 1 ~ ( ) x a b X f x b a 所以 EX= xf ( x )dx b a dx b a 1 x a b x 2 1 b a 1 2 2 a b 解 否则称X的数学期望不存在. (2) 连续型随机变量的数学期望
例5设随机变量X服从参数为，的指数分布，求EX. x>0 解 X的概率密度函数为f(x)= 0 x≤0 所以，X=f(x=xek=-xde产) x-→+0 edx lim-- 类似计算可得：若X~N(,o2),则EX=u 返回
返回 例5 设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求EX. 解 X的概率密度函数为 0 0 0 ( ) x e x f x x 所以, EX= xf ( x )dx 0 xe dx x 0 xe 0 e dx x x 0 1 e dx x 类似计算可得: 若X~N(μ,σ2), 则EX= μ. 1 0 x xd( e ) x x e x lim x x e 1 lim 0 1 e dx x
计算可得 X~U[a,b] a+b 2 X~E(入) 1 EX X-N(u,c2) EX=μ 返回
返回 计算可得 X~U[a,b] EX 2 a b X~E(λ) EX X~N(μ,σ2) 1 EX= μ
例6设随机变量X~fx),EX=7/12,且 f(x)= ax+b0≤x≤1 求a与b的值，并求分布函数F(x) 10 其它 解 /)k=a+bk=号+b=1 2 E以-fs-a+b-9 b 7 32 12 解方程组得a=1,b=1/2 当x<0时，F(x)=O;当x之1时，F(x)=1: 当0x<1时， na-或-w +2 x<0 所以F(x)= 0≤x<1 2 2 x≥1 返回
返回 例6 设随机变量X~f(x),EX=7/12,且 0 其它 0 1 ( ) ax b x f x 求a与b的值,并求分布函数F(x). 解 1 2 ( ) ( ) 1 0 b a f x dx ax b dx 12 7 3 2 ( ) ( ) 1 0 a b EX xf x dx x ax b dx 解方程组得 a=1,b=1/2 当x<0时,F( x)=0; 当0≤x<1时, 2 2 ) 2 1 ( ) ( ) ( 2 0 x x F x f t dt t dt x x 当x≥1时,F(x)=1; 所以 1 1 0 1 2 2 0 0 ( ) 2 x x x x x F x