Ch4 南量空同 第一节向量组的线性相关 与线性无关 一、向量、向量组与矩阵 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定 四、向量组的线性相关性质 五、线性表示、线性相关以及 线性无关三者的关系 >六、小节、思考题
Ch4 向量空间 第一节 向量组的线性相关 与线性无关 一、向量、向量组与矩阵 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定 六、小节、思考题 四、向量组的线性相关性质 线性无关三者的关系 五、线性表示、线性相关以及
一、向量、向量组与矩阵 n维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用a7,b,a,B等表示，如： aT=(a1,2,,n) n维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用a,b,a,B等表示，如： = g 上页 返回
( , , , ) 1 2 n T a = a a a = an a a a 2 1 一、向量、向量组与矩阵 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如： T T T T a ,b , , n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a,b,, 等表示，如： n
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组 例如矩阵4-(ui） 有n个n维列向量 1 2 A- 向量组41,42，，4n称为矩阵4的列向量组 上页 返回
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩 阵A ai j 有n个m维列向量 m n ( ) = = a a a a a a a a a a a a A m m mj mn j n j n 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 a1 向量组 a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组. a1 a2 a j an
类似地，矩阵A=(4) 又有m个n维行向量 L11 L12 din L21 L22 A2n 4= dil Ni2 Qin 以 Aml am2 Amn, 向量组，a3,.,称为矩阵A的行向量组 上页 返回
类似地 矩 阵A ai j 又 有m个n维行向量 m n , ( ) = = a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in n n 1 2 1 2 21 22 2 11 12 1 T 1 T 2 T i T m T 1 T 2 T i T m 向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组． T 1 T 2 T m
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. m个n维列向量所组成的向量组a1,a2,,am, 构成一个m×n矩阵 A=(a1,C2,,0m） m个n维行向量所组成 B 的向量组B,B2T,BmT, B= 构成一个m×n矩阵 上页 返回
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 构成一个 矩阵 个 维列向量所组成的向量组 m n m n m , , , , 1 2 构成一个 矩阵 的向量组 个 维行向量所组成 m n m n T m T T , , , 1 2 = T m T T B 2 1 ( , , , ) A = 1 2 m
线性方程组的向量表示 auxi+anain: D1 21x1+M222+…u2nn b2, am+am22amn n bm ta☑x+…+☑xb 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应. 上页 返回
1 x1 +2 x2 + + n xn = b 线性方程组的向量表示 + + + = + + + = + + + = . , , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b m m mn n m n n n n 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义1给定向量组4：a1,a2,,an,对于任何一 组实数k1,k2,,km,向量 k1a1+k2a2+…+kmxm 称为向量组的一个线性组合k1,k,,km称为这 个线性组合的系数 上页 返回
组实数 ， ， ， 给定向量组 ，对于任何一 m m k k k A , : , , , 1 2 1 2 定义１ . , 1 2 个线性组合的系数 称为向量组的一个 ， k ，k ， km称为这 向 量 k11 + k2 2 ++ km m 线性组合
给定向量组A:a1,a2,,m和向量b,如果存在 一组数1,2，，入m,使 b=1a1+元2a2+…2nam 则向量b是向量组4的线性组合，这时称向量b能 由向量组A线性表示 即线性方程组 七1C1+x2a2+…+xmm=b 有解.也就是方程组Ax=b有解， 其中，A=[a,a2,an] 上页 返回
b = 11 + 2 2 + m m 一组数 ， ， ， 使 给定向量组 和向量 如果存在 m A m b , : , , , , 1 2 1 2 . 1 1 2 2 有解 即线性方程组 x + x + + xm m = b 则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 能 由向量组 线性表示． b A 也就是方程组 Ax = b 有解， , , . 其中，A = 1 2 n
定理1向量b能由向量组A线性表示的充分必要 条件是矩阵A=(a1,a2,,am)的秩等于矩阵 B=(a1,a2,,a&m,b)的秩 [2 例：向量b=-3 即可由向量组1=0 02 = Lo] H 3= 0 线性表示，且为：b=2a1-3a2+0a3 上页 返回
( , , ) . ( , ) 1 2 1 2 ， ， 的 秩 条件是矩阵 ， ， 的秩等于矩阵 向 量 能由向量组 线性表示的充分必要 B b A b A m m = = 定理1 例：向量 即可由向量组 ， ， = = = − 0 1 0 0 0 1 0 3 2 b 1 2 3 2 1 3 2 0 3 1 0 0 = − + = 线性表示，且为：b
(因为 1 0 0 2 B=[A,b1=[a1,2,a3,b]= 0 1 -3 0 0 1 0 即r(A)=r(B)) 定义2设有两个向量组 A:C1,2,,Cm及B:阝1，B2,,f, 若B组中的每个向量都能由向量组4线性表示，则 称向量组B能由向量组线性表示.若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价 上页 返回
. : , , , : , , , . 1 2 1 2 量 组 能相互线性表示，则称这两个 称 若向量组 与 向 若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则 及 设有两个向量组 B A B A A m B s 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． B A 定义２ 即r(A) = r(B).) = = = − 0 0 1 0 0 1 0 3 1 0 0 2 [ , ] , , , B A b 1 2 3 b (因为