1.3函数的连续性 1.3.1连续性的概念 1.3.2函数的间断点 1.3.3连续函数的运算与初等函 涵 数的连续性 1.3.4闭区间上连续函数的性质
1.3.1 连续性的概念 1.3.3 连续函数的运算与初等函 数的连续性 1.3 函数的连续性 1.3.2 函数的间断点 1.3.4 闭区间上连续函数的性质
1.3.1函数连续性的概念 y=x+1 x+1,x<1 x,x≥1 -1 2 X 酸
−1 1 x 1 2 −1 y x = +1 1 1 1 x x y x x + = ， ， y 1 x 1 2 −1 1.3.1 函数连续性的概念
1.3.1函数连续性的概念 1.变量的增量 研究函数y=x2,当x从初值1增加到 终值1.1，函数值y从1增加到1.21，我们把1.1 -1=0.1称为自变量的增量，把1.21-1= 0.21称为函数y的增量
1. 变量的增量 研究函数 y＝x 2，当x从初值1增加到 终值1.1,函数值 y从1增加到1.21，我们把1.1 －1＝0.1称为自变量的增量，把1.21－1＝ 0.21称为函数 y 的增量。 1.3.1 函数连续性的概念
1.变量的增量 般地，常用o表示自变量的初值，用 △x表示自变量的增量，则自变量的终值可 表示为x+△x,相应地 用△y表示函数值的增量 y=f(x) 则 y 湖 △y=fx+△x)-fx0) △x 0 xo+△xX
x0 x0 + x 一般地, 常用x0 表示自变量的初值，用 △x表示自变量的增量，则自变量的终值可 表示为x0＋△x，相应地 用△y表示函数值的增量， △y＝f( x0＋△x)－f(x0 ) 则 x y 0 y = f (x) x y 1. 变量的增量
2.函数连续性的定义 定义1-10设函数y=f(x)在x的某一邻域内有定 义，如果当自变量在点x,处的增量△x→0时 有 lin Ay=limf(+x)-f()=0 A→0 则称y=f(x)在点x处连续，称x为连续点 函数在x处连续的意义是指：当自变量在x处的增量 △x为无穷小量时，函数的增量△y也为无穷小量。 【这一定义说明了连续的本质：当自变量变化很微小 时，函数值相应变化也很微小
0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 lim lim[ ( ) ( )] 0 ( ) x x y f x x x x y f x x f x y f x x x → → = → = + − = = 设函数 在 的某一邻域内有定 义，如果当自变量在点 处的增量 时， 有 则称 在点 处连续，称 为连续点。 函数在x0处连续的意义是指:当自变量在x0处的增量 △x为无穷小量时，函数的增量△y也为无穷小量。 这一定义说明了连续的本质：当自变量变化很微小 时，函数值相应变化也很微小. 2. 函数连续性的定义 定义1-10
2.函数连续性的定义 lim Ay=lim[f(x。+△x)-f(x)】=0 △x→0 △x-→0 设x=x。+△x,1△y=f(x)-f(K): △x→0就是x→x, △y→0就是f(x)→f(x,). 祸 定义1-11设fx)在点x的某邻域内有定义， 若1imf(x)=f(), x→X0 则称fx)在点x,连续
定义1-11 ( ) ( ) 0 0 lim , x x f x f x → = 设f (x)在点 x0 的某邻域内有定义, 则称 f (x)在点 x0 连续. , 0 设 x = x + x ( ) ( ), 0 y = f x − f x 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). 0 y → 就是 f x → f x 2. 函数连续性的定义 0 0 0 0 lim lim[ ( ) ( )] 0 x x y f x x f x → → = + − = 若
少例1证明f)=3x-1在x=1连续. 证明： mf(x)=lm(3x-)=2=f(0） 由定义1-11知：fc)=3x-1在x-1连续. 湿
例1 证明： ( ) ( ) ( ) 1 1 lim lim 3 1 2 1 x x f x x f → → = − = = 证明 f (x) = 3x－1在 x = 1连续. 由定义1-11知: f (x) = 3x－1在 x = 1连续
例2试证函数f(x)= xSin-,x≠0， X 0,1x=0, 在x=0处连续 证明：Iimxsi =0, x→0 X 极秋私 又f(0)=0, limf(x)-f(0), 所以，函数f(x)在x=0处连续 d
1 sin , 0, ( ) 0, 0, 0 . x x f x x x x = = = 试证函数 在 处连续 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 所以，函数 f x x ( ) 0 在 = 处连续。 lim ( ) (0), 0 f x f x = → 例2 证明：
单侧连续的概念 !设fx)在点x的左（右）邻域内有定义，若 lim f(x)=f(x) x→x0 e)j x→X0 则称函数fx)在点x左（右）连续. 函数f(x)在点x连续的充要条件是fx)在 湖 点x,即左连续又右连续
单侧连续的概念 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → − = 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → + = 设 f (x)在点 x0 的左(右)邻域内有定义,若 则称函数 f (x)在点 x0 左(右)连续. 函数 f (x)在点 x0 连续的充要条件是 f (x) 在 点 x0 即左连续又右连续
3设f(-0 x-1,x≤0 ,讨论fx)在 点x=0的连续性. 解：1 m(y-m(x-)=-1=f0) x0 腿 故(x)在x=0左连续. 又因为 limf(x)=lime=1≠f(0) x->0 x→0 故f(x)在x=0非右连续，故f(x)在x=0非连续 -腿
例3 解： ( ) 1, 0 , 0 x x x f x e x − = ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim 1 1 0 , x x f x x f → → − − = − = − = f x( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim 1 0 , x x x f x e f → → + + = = 设 ,讨论 f (x) 在 点 x = 0 的连续性. 故 在 x=0 左连续. 又因为 故 f x( ) 在x=0非右连续, 故 f x( ) 在x=0非连续
