4.4偏导数与全微分 4.4.1偏导数及其几何意义 4.4.2高阶偏导数 4.4.3全微分
4.4 偏导数与全微分 4.4.1 偏导数及其几何意义 4.4.2 高阶偏导数 4.4.3 全微分
4.4.1偏导数及其几何意义 增量的 问题的提出 比值 元函数 lim f(x+△x)-f(x) 导数定义 2=1im △x-→0 △x △x→0 △x 0 函数对于自变量的变化率 多元函数 函数对自变量的变化率
问题的提出 函数对自变量的变化率 4.4.1 偏导数及其几何意义 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x → → x x + − = 一元函数 导数定义 函数对于自变量的变化率 多元函数 增量的 比值
1.偏增量与全增量 偏增量 △x2=f(x+△x,)-f(x,y) △z=f(x,+Ay)-f(x0,) 分别为z=f(x,)在Poxo,o)处对x的偏增量 湿 和对y的偏增量 涵
1.偏增量与全增量 0 0 0 0 ( ) ( , ) x = + − z f x x y f x y ， 0 0 0 0 ( ) ( , ) y = + − z f x y y f x y ， 分别为 z = f (x, y) 在P0 (x0 , y0 )处对 x 的偏增量 和对 y 的偏增量. 偏增量
全增量 设二元函数fky)在PcJo)的某邻域U(Po)内有 定义，在Pxo)处分别给xJ一个改变量△x和△y, 得f(x,y)相应的改变量为 褐 △2=f(x+△x,+△y)-f(x,) 称之为f(,y)在P心，Jyo)的全增量
全增量 0 0 0 0 = + + − z f x x y y f x y ( ) ( , ) ， 称之为 z=f (x, y) 在P0 (x0 , y0 )的全增量. 设二元函数f (x,y)在P0 (x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内有 定义，在P0 (x0 , y0 )处分别给x0 , y0一个改变量x和y, 得 f (x, y)相应的改变量为
2.偏导数的定义 定义4-4设二元函数f化，y)在P(Ky0)的某邻域 U(P)内有定义，若极限 lim △x2=lim f(x+△x,y)-f(xy) △x→0 △r→0 △x 存在， 则称此极限为函数z=f化，y)在点（化，y)处对 的偏导数，记为 af ，2(x,o)或f(x0,) (x0,y%） Ox (xo-Yo) 一 x-x0 x=x0 Ox x=x0 x=X0 2x'(x0,乃0) y=Yo y=Yo y=Yo y=yo
定义4-4 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim x x x z f x x y f x y → → x x + − = 存在, 则称此极限为函数 z = f (x, y)在点(x0 , y0 )处对x 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , , ( , ) ( , ) x x x y x y z f z x y f x y x x 或 设二元函数f (x, y) 在P0 (x0 , y0 )的某邻域 U( P0 )内有定义，若极限 的偏导数，记为 2. 偏导数的定义 0 0 y y x x x z = = 0 0 y y x x x f = = 0 0 y y x x x z = = 0 0 ( , ) x z x y 0 0 x x x y y z = =
类似地，如果极限 lim △，2-lim f(x,%+△y)-f(x,y0) △y→0 △y △y→0 △y 存在，则称此极限为函数z=f化，y)在点化y)处 对y的偏导数，记为 8z 涵 ，2,(0%)f(0) (x%) dy (xoYo) -秋私 Ox af ay x=X0 X=X0 ay x=x0 y y=Jo y=Yo y=Yo
类似地，如果极限 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim y y y z f x y y f x y → → y y + − = 存在,则称此极限为函数 z = f (x, y)在点(x0 , y0 )处 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , , ( , ) y x y x y z f z x y y y 0 0 ( , ) y f x y 对 y 的偏导数，记为 0 0 y y y x x z = = 0 0 y y y x x f = = 0 0 y y x x y z = =
当函数z=f化，Jy)在点化y)处同时存在对x和y的偏 导数时，则称函数=fx,y)在点(y)处可偏导 如果函数=f化，y)在某平面区域D内每一点K,y) 处都存在对x或y的偏导数，那么这时偏导数仍然 是x,y的函数，称它们为函数z=f化，y)的偏导函数， 涵 记作 x,f(x,y) 8x 极极 高 ,f(x.y)
当函数z = f (x, y)在点(x0 , y0 )处同时存在对x和y的偏 如果函数 z= f (x, y)在某平面区域D内每一点(x, y) , , ( , ). y y z f z f x y y y , , , ( , ) x x z f z f x y x x , 导数时，则称函数z=f (x, y)在点(x0 , y0 ) 处可偏导. 处都存在对x或y 的偏导数, 那么这时偏导数仍然 是x, y 的函数,称它们为函数 z= f (x, y)的偏导函数, 记作
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如三元函数u=f(x,Jy,)在(x,y,z)处 (x,y,)=lims f(x+Ax,y,z)-f(x,y,z) △x→0 △x f(x,y,z)=lim- f(x,y+Ay,)-f(x,y,z) △y-→0 △y f(x,y,z)=limI(x,Y,z+A)-f(x,y,z) △z→0 △z
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如三元函数 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x + − = → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y + − = → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z + − = →
由偏导数的定义可以看出，计算多元函数的偏 导数并不需要新的方法.例如，若求f(x,y)关于x的 偏导数，只需把y看成常数，f化，y)则为x的一元函 数，关于x求导即可.这样，一元函数的求导公式和求 凝 导法则都可移用到多元函数的偏导数计算中来. -秋私
由偏导数的定义可以看出，计算多元函数的偏 导数并不需要新的方法. 例如，若求f (x, y)关于x的 偏导数，只需把y看成常数，f (x, y)则为x的一元函 数, 关于x求导即可. 这样，一元函数的求导公式和求 导法则都可移用到多元函数的偏导数计算中来
之例1求zx+x-y在(1,2)处的偏导数. y 解法一把y看成常数，对x求导，得 =3xr2+1 8x y 把x看成常数，对y求导，得 az X 凝 ay 2-2y y 将x=1,y=2代入以上两式得 Oz 17 x 2 4 (1,2) 1,2)
解法一 把 y 看成常数，对x 求导，得 2 1 3 ; x x y = + z 把 x 看成常数，对y 求导，得 2 2 x y y y = − − z 例1 ( ) ( ) 1,2 1,2 7 17 , . x y 2 4 = = − z z 将x =1，y=2代入以上两式得 3 2 x z = x + - y y 求 在(1,2)处的偏导数