5.2正项级数及其敛散性判别法 在前面讨论的级数中，级数的各项可以是正数、 负数或零，称为任意项级数。本节将讨论其特 殊情况，即级数中的各项均为非负数，称为正 项级数。有了正项级数可以帮助解决一些利用 级数定义很难判别级数收敛性的问题。实际中 很多任意项级数的收敛性判别问题可以转化为 超 正项级数的收敛问题
在前面讨论的级数中，级数的各项可以是正数、 负数或零，称为任意项级数。本节将讨论其特 殊情况，即级数中的各项均为非负数，称为正 项级数。有了正项级数可以帮助解决一些利用 级数定义很难判别级数收敛性的问题。实际中， 很多任意项级数的收敛性判别问题可以转化为 正项级数的收敛问题。 5.2 正项级数及其敛散性判别法
矿定义5-3 如果级数 ∑ Ln的各项un≥0， 则称级数 n=l ∑4n为正项级数(positive series)。易知 n=l 正项级数 ∑ un的部分和数列{Sn}是单调增加数列， n=l 即 S1≤S2≤…≤Sn≤ 根据数列的单调有界准则知，{s收敛的充分 必要条件是{$}有界。因此得到下述重要定理
根据数列的单调有界准则知，{sn }收敛的充分 必要条件是{sn }有界。因此得到下述重要定理。 1 2 n s s s 定义5-3 1 n n u = 的各项 0 n u , 则称级数 n=1 un 为正项级数(positive series)。易知 正项级数 1 n n u = 的部分和数列 如果级数 { }n s 是单调增加数列， 即
定理5-1（正项级数的收敛原理） 正项级数∑4，收敛的充分必要条件是： 它的部分和数列{Sn}有界。 定理5-1不仅可以用来直接判别正项级数 涵 的收敛性，而且是证明下面一系列判别法的 重要基础
定理5-1不仅可以用来直接判别正项级数 的收敛性，而且是证明下面一系列判别法的 重要基础。 定理5-1(正项级数的收敛原理) 正项级数 n=1 un 收敛的充分必要条件是： 它的部分和数列 { }n s 有界
定理5-2（比较判别法） 设4与∑均为正项级数且u,≤，n=12,… 则(1)如果级数∑vn收敛，则级数∑4收敛； n=l 漫 n=1 (2) 如果级数∑发散，则级数 ∑ n发散 n=] n=l
定理5-2(比较判别法) 设 均为正项级数 n=1 un n=1 n v 且 n n u v n =1,2, 则 (1) 如果级数 收敛，则级数 收敛； (2) 如果级数 发散，则级数 发散 n=1 n v n=1 un n=1 un 1 n n v = 与
证明：设级数与级数的部分和分别为Sn,0m 由条件则有， 0≤=24≤∑ k=1 k=1 (1)如果级数 ∑收敛，则其部分和数列{on} n= 00 有界，从而级数∑4的部分和数列{5n}有界， ●● 故由定理5-1知级数∑4，收敛。 n=]
故由定理5-1知级数 1 1 0 n n n k k n k k s u v = = = = 证明: 设级数与级数的部分和分别为 ， 由条件则有, , n n s (1) 如果级数 1 n n v = 收敛，则其部分和数列 { } n 有界，从而级数 n=1 un { }n s n=1 un 的部分和数列 收敛。 有界
心(2)如果级数∑4n发散，则其部分和数列 n=l {Sn}无界，从而级数 ∑yn的部分和数列{On} n=1 无界，故由定理5-1知级数 ∑v 发散。 n=l 由于级数的每一项同乘不为零的常数k,以及 去掉级数前面有限项不改变级数的收敛性，因 此，“定理5-2的条件可减弱为： ,≤Cvm,(c>0为常数，n=k,k+1,…) 蘭
n=1 un { }n s n=1 n v { } n n=1 n v (2) 如果级数 发散，则其部分和数列 无界，从而级数 的部分和数列 无界，故由定理5-1知级数 发散。 由于级数的每一项同乘不为零的常数 k，以及 去掉级数前面有限项不改变级数的收敛性，因 此，定理 5-2 的条件可减弱为： n n u cv , ( c 0为常数，n k k = + , 1, )
例5-7讨论。-级数1+2+3” 。+…(p>0)的敛散性 解()ps1时，因为订调和级数发散，所以P 一级数发散。 (2)p>1时，由n-1≤x1时，p-级数收敛；当0<p≤1时，卫p- 级数发散
例 5-7 讨论p -级数 ( 0) 1 3 1 2 1 1+ + + + + p n p p p 的敛散性。 解 (1) p 1时，因为 1 1 , p n n 调和级数 1 1 n n = 发散，所以 p -级数发散。 (2) p 1时，由n x n − 1 ，有 1 1 p p n x ， 所以 1 1 1 , n n p p p n n dx dx n n x − − = 2 1 1 1 1 1 1 1 2 3 n n p p p p p n dx dx s n x x − = + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 n p p dx x p n p − = + = + − + − − 即 n s 有界，所以 p -级数收敛。 综上所述，当 p 1时， p -级数收敛；当0 1 p 时， p - 级数发散
例5-8判别级数三a+”2y的敛散性 解因为 2n+1 2n+2 2 (n+1)2(n+2)2 (n+1)2(n+2)2 <2根据例5-7 p一级数收敛结论，立是收敛的，运用比较判 别法，所以原级数收敛
例 5-8 判别级数 = + + + 1 2 2 ( 1) ( 2) 2 1 n n n n 的敛散性。 解 因为 2 2 ( 1) ( 2) 2 1 + + + n n n 2 2 ( 1) ( 2) 2 2 + + + n n n 3 ( 1) 2 + n , 2 3 n 根据例 5-7 p -级数收敛结论， =1 3 1 n n 是收敛的，运用比较判 别法，所以原级数收敛
礼 例5-9设an≤Cn≤bn(n=1,2,…),且2a,及26均收敛， 证明 级数∑c收敛。 证根据题设条件an≤Cn≤bn,得0≤c,-a,≤b,-a,(n=1,2,),由 于立，与∑6都收敛，故26，，是收敛的，从而由比较判别法知， 正项级数∑c,-a,)也收敛。 湖 再由2，与2.a的收敛性可推知：级数a,+c,a,1也收 敛。 一
例 5-9 设 n n bn a c ( 1, 2, ) n = ，且 n=1 an 及 n=1 n b 均收敛， 证明 级数 n=1 n c 收敛。 证 根据题设条件 nnn a c b ，得0 ( 1, 2, ) n n n n − − = c a b a n ，由 于 n=1 n a 与 n=1 n b 都收敛，故 ( ) 1 n n bn a = − 是收敛的，从而由比较判别法知， 正项级数 ( ) 1 n n cn a = − 也收敛。 再由 n=1 n a 与 ( ) 1 n n n c − a = 的收敛性可推知：级数 n=1 n c [ ( )] 1 n n an cn a = = + − 也收 敛
比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要 方法。对于给定的正项级数，要应用比较判别法来 判别它的收敛性，则首先要通过观察，找到另一个 已知级数与其进行比较，常常需要建立给定级数的 一般项与某一已知级数一般项之间的不等式。但这 多少有些困难。下面介绍的几个判别法，可以利用 智 级数自身的特点，来判断级数的收敛性。 极极
比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要 方法。对于给定的正项级数，要应用比较判别法来 判别它的收敛性，则首先要通过观察，找到另一个 已知级数与其进行比较，常常需要建立给定级数的 一般项与某一已知级数一般项之间的不等式。但这 多少有些困难。下面介绍的几个判别法，可以利用 级数自身的特点，来判断级数的收敛性
