第一章向量与坐标 教学目的 1、掌握向量代数的基本知识， 2、熟练掌握向量的基本运算， 3、能利用向量知识建立坐标标架。 教学重点： 1、向量的有关概念， 2、向量的加减法定义及运算规律， 3、掌握数量乘向量的定义、运算规律和在论证简单几何命题中的应用， 4、掌握向量的分解定理， 5、掌握两向量共线与三向量共面的坐标刻画， 6、掌握线段的定比分点坐标公式， 7、射影定理， 8、两向量的数量积的概念和运算规律， 9、两向量的夹角公式， 10、两向量的向量积的概念和运算规律， 11、向量混合积的概念和直角坐标表示。 教学难点 1、向量的分解定理， 2、两向量共线与三向量共面的坐标刻画， 3、线段的定比分点坐标公式， 4、射影定理， 5、两向量的数量积的概念和运算规律， 6、两向量的向量积的概念和运算规律， 7、向量混合积的概念和直角坐标表示。 教学内容 §1.1向量的概念
教学目的 使学生了解解析几何的起源与产生背景、研究内容与基本思想方法、本 课程所讲内容及要求。 教学重点：向量的有关概念。 教学难点：自由向量、共线向量、共面向量的概念。 教学内容 一、向量的定义、几何表示、记法 1.既有大小又有方向的量。简称为式。例如力、速度等。 注：在中学也学过向量，不过是平面上的向量，我们这里所讲的向量一般 是空间中的向量。 2.用有向线段表示向量。也就是说，在几何中，我们把向量看成有向线段。 有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。有向线 段的始点与终点分别叫向量的始点与终点。 3.始点为A,终点为B的向量记作AB。 B 有时用a,b,x或黑体学母a,b,x表示向量。 4.向量的模：向量的大小称为向量的模。 向量AB与a的模分别记为AB与ā。 二、几种特殊向量 1.单位向量：模为1的向量称为单位向量。与ā有同一方向的单位向量称 为a的单位向量，记为a°。 2.零向量：模等于零的向量，记为0或0，即起点与终点重合，方向不确 定（方向任意），否则为非零向量。 3.向量的平行与相等： 向量ā与b相互平行：表示它们的有向线段所在的直线平行，记为ā∥b, 类似有一个向量与一条直线或一个平面平行的概念等等。 注：()平行的两向量不一定同向。 ()位于同一直线上的两个向量不叫平行（因重合的直线不叫平行）
ā与b相等：若a与b的模相等且方向相同，记为ā=b,规定：所有零向 量都相等。 注：()模相等的两向量不一定相等，因为她们的方向可能不同。 (ii)设AB与A'B'为不在同一直线上的非零向量，则AB=A'B'当且仅当 四边形ABBA为平行四边形。 证根据两向量相等的定义，对于不在同一直线上的两个相等的非零向量 AB与AB,若用两线段分别连接它们的一对起点A与A,一对终点B与B, 那么显然得到一个平行四边形ABBA。反之，对两个向量，若用这种作图法得 到一个平行四边形，那么由向量相等的定义知这两向量相等。 (1ii)利用定义要证=b,只要证它们的模与方向分别相等。 4.反向量（负向量）： 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量，向量ā的反向量记为-ā。 显然，AB与BA互为反向量，即AB=BA或BA=-AB -a 5.自由向量： 由于自由向量始点的任意性，按需要，我们可以选取某一点作为所研究的 一由两向量相等的定义知，两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们 的模和方向决定，始点可任意选的向量通常叫做自由向量。也就是说，自由 向量可任意平行移动，平行移动后的向量仍然代表原来的向量。在自由向量 的意义下，相等的向量都看作是同一的自由向量。有时需要把一些向量的始 点移到同一个位置，就说把这些向量归结到共同的始点。 6.共线与共面向量 若把平行与同一直线的一组向量归结到共同的始点，这组向量一定在同一 直线上。因此，我们把平行于同一直线的一组向量叫做共线向量。也就是说
共线向量是指这样一组向量，将它们归结到共同的始点，则这组向量在同一 直线上。规定，零向量与任意共线的向量组共线。 同样，若把平行于一平面的一组向量归结到共同的始点，这组向量一定在 同一平面上，因此，平行于一平面的一组向量叫做共面向量。也就是说，共 面向量是指这样一组向量，将它们归结到共同的始点，则这组向量在同一平 面上。规定，零向量与任意共面的向量组共线。 注：显然，一组共线向量一定是共面向量。（将这组向量归结到共同的始点， 则它们在同一直线上，当然它们在同一平面上)，三向量中若有两向量共线， 这三向量一定也是共面的。 注：应把向量与数量严格区别开来： ①向量不能比较大小，如AB>CD没有意义： ②向量严禁除法运算，如 AB 此类式子不允许出现。 CD 例：在三棱台中找出共线向量与共面向量： §1.2向量的加法 教学目的 使学生掌握向量的有关概念、向量的加减法定义及运算规律、向量加 减法的作图法。 教学重点 向量的加减法定义及运算规律
教学难点 向量的加减法定义及运算规律。 教学内容 C 一、加法 1.向量和的平行四边行法则： 设已知向量石，b,以空间任意一点0为始点 作向量OA=a,OB=b 0 B 把两个向量OA、OB为邻边组成一个 平行四边形OACB,即有对角线向量 OC_OA+OB,记c=OC,称作a与6的和，记作c=a+b,由两向量ā 与b,求它们的和a+b的运算叫做向量的加法。 (根据力的合成原理得到的) 2.三角形法则： 作OA=a,AB=b,则有OB=OA+AB 称为三角形法如. 0 (位移的合成用三角形法则) 如果向量ā=OA与向量b=OB在同一直线上，那么，规定它们的和是这 样一个向量： 若OA与OB的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模 等于两向量的模之和。如图： A B 若OA与OB的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差，其方 向与模值大的向量方向一致
B 0 3.运算规律 (1) a+0=d (2)ā+(-ā)=0 (3) ab-ba (4)(a+b)+c=a+(b+c) 结合律的证明： a+b+c b+c a+b b 二、减法 1.定义1.2.2若b+c=d,则称c为d,b的差，记为c=d-b。由a, b求-b的运算叫做向量的减法。 2.向量减法的作图法 自空间任意点引向量OA=a, OB=b A 则b+BA=a, 由减法定义得BA=a-b。 0 三、三角不等式 B |ā+b≤a+b, 且等号成立等价于ā，b中至少有一个为零向量或ā，b同向
四、例题 例1：设a,b，c不共线，则它们顺次终点与始点相连成一个三角形的 充分必要条件是a+b+c-0 证明：必要性 设a,万，c可构成三角形ABC(图)，且 AB=a,BC=b,CA=c,那么AB+BC+CA=AA=0,即a+b+c=0。 B 充分性设a+b+c=-0(如图)， 作AB=a,BC-b, 那么AC=a+b,于是AC+c-0, 因此c=-AC=CA,故a,b,c可构成三角形ABC。 例2用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 证明：设四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0且互相平分， 由图可见， AB=40+OB-OCDO-DO+OC-DC. 因此AB∥OC,且AB日DC, 故四边形ABCD是平行四边形。 例3：在平行六面体ABCD-ABCD中，设 AB=a,AD=b,AA=c, 试用a,b,c 表示向量AG,AC. 作业题：习题1.1：1,2,3,4,5
§1.3数乘向量 教学目的 掌握数量乘向量的定义、运算规律和在论证简单几何命题中的应用。 教学重点：掌握数量乘向量的定义、运算规律和在论证简单几何命题中的 应用。 教学难点：用向量的运算论证简单几何命题。 教学内容 1.定义实数九与a的乘积是一个向量，记为乙a, |a曰‖a|,当X>0时，元a与a同向 当入<0时，元a与a反向。 ia A ，a (2<0) 我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘。 注：由数乘的定义可知 (i)九=0或a=0时，元a=0。 (ii)(-1)a=-a(既(-1)a为a的反向量) 证明：因为(-1)a=-1‖a=a|,且(-l)a与a反向（数乘定义），所以 由反向量的定义知(-1)a为a的反向量，即(-1)a=-d (iii)aaa°或a°= 2.运算规律 定理1.3.1数乘满足 1)1a=4 2)结合律： A(ua)=(Au)a
3)第一分配律：(1+0)石=a+ud 4)第二分配律：（石+b)=ā+b 以上a,b为任意向量，几，“为任意实数。 证明：1)因为1a与a同向且1a=1a=a,(数乘定义)，所以1a=a, (两向量相等的定义)。 2)1°当a-0或0时，(ua)=0=(a成立。 2°当a≠0且u≠0时， 若>0，则(0)a与a同向，因乙，“同号，所以(@)与a同向，故(u)a 与(@)同向。 若u0，则九，4，几+“同号，因此(+)ā与a+i要么都与a反 向，要么都与a同向，故(+0ā与后+ā同向，又因
(h+u)a=h+ua=(+u)a_a a+ua ha+ua ha+ua 所以 (+)a=a+ua。 ii)若0，“0和2+“0，“0，（⑦+）ā+(-)a=[(2+0)+(-0)]a=a, 因此(2+)a=a-(-u)a =a+(-(-)ā) =a+(-1)(-0)a=2a+(-1)(-)ā=a+ā， 所以(+)a=a-(-)a=a+ua。 4)若元=0或ā，b之中有一个为0，等式显然成立。 因此只须对云≠0，b≠0且入≠0的情形进行证明。 i)若d,b共线，先证此时=mb,其中 同 ,a,b同向 m= a ,a,b反向 当a,6同向时，因rd>0,所以m6与i同向，故m5与ā同向。 当a,6反向时，因r1d<0,所以m6与5反向，故m6与a同向. 总之，mb与ā同向。 又因 网-啊-A-问 所以a=mb。于是