高等数学教案 第十二章无穷级数 第四节函数展开成幂级数 教学内容：函数展开为泰勒级数的充分必要条件，e,sinx,cosx,ln(1+x)和(1+a)“的 麦克劳林展开式 教学目标：了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；掌握e,sinx,cosx,n(1+x)和 (1+α)“的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数 教学重点：e,sinx,cosx,ln(1+x)和(I+a)“的麦克劳林展开式 教学难点：泰勒级数 教学方法：讲授法 作业：P2851,2,3,4,5,6 教学过程： 一、泰勒级数 要解决的问题：给定函数x),要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，就 是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数x), 如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数x)在该区间内能展开成幂级数，或简单地说函 数孔x)能展开成幂级数，而该级数在收敛区间内就表达了函数fx), 泰勒多项式：如果f孔x)在点x的某邻域内具有各阶导数，则在该邻域内f孔x近似等于 f)=f()+fCox-x)+-x+ 2刘 +fmx-o》+R(), n! 其中R,=fa⑤c-)传介于x与为之间 (n+1)！ 泰勒级数：如果f孔x)在点的某邻域内具有各阶导数(x),"(x,·, f(x),··,则当no时，fx)在点o的泰勒多项式 p.()=fO)+IGx-x)+ 2刘 n! 成为幂级数 fe+%e2-w-…2e-r+ _n 这一幂级数称为函数f孔x)的泰勒级数.显然，当x=x时，f孔x)的泰勒级数收敛于f孔xa). -1
高等数学教案 第十二章无穷级数 需回答的问题：除了x=外，x)的泰勒级数是否收敛？如果收敛，它是否一定收敛 于fx? 定理设函数f孔x)在点xo的某一邻域U(xo)内具有各阶导数，则fx)在该邻域内能展 开成泰勒级数的充分必要条件是f孔x)的泰勒公式中的余项R(x)当n0时的极限为零，即 limR,(x)=0(x∈U(xo) 7 证明先证必要性.设fx)在U(x)内能展开为泰勒级数，即 f=f+f-x+"%2x-}P++foox-x+… 2 n 又设5n+1(x)是fx)的泰勒级数的前n+1项的和，则在U(xo)内sn+1(x)→xn→o. 而f孔x)的n阶泰勒公式可写成f孔x=sn+1(x+Rn(x,于是R(x)=fx-sn+1(x)→0(n-o). 再证充分性.设Rn(x)→0(n→0)对一切x∈U(xo)成立. 因为fx)的n阶泰勒公式可写成fx=sn+1x+Rn(x),于是sn+1(x=fx-Rn(x-→fx刘， 即f孔x)的素勒级数在U(xo)内收敛，并且收敛于f孔x. 麦克劳林级数：在泰勒级数中取xo=0,得 f0+f'0x+2x2+…+0、 2x”…, n! 此级数称为f孔x)的麦克劳林级数 展开式的唯一性：如果f孔x)能展开成x的幂级数，那么这种展式是唯一的，它一定与 f孔x)的麦克劳林级数一致.这是因为，如果f孔x)在点xo=0的某邻域(-R,)内能展开成x的幂级 数，即 fx=00+01x+a2x+…+0nX+.·, 那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导，有 f'(x)=01+202X+3a3X2+·+n0nx-1+·, f"x=2a2+3-2a3x4+n-n-1)ax-2+, f"x=3la3t…+n-n-1n-2anx-3+…, fn(x=nlan+(n+1)nln-1)·2an+1x+·, 于是得 21，a,=0 of01,f'1o.,='0 应注意的问题：如果孔x)能展开成x的幂级数，那么这个幂级数就是x)的麦克劳林 级数.但是，反过米如果x)的麦克劳林级数在点x0的某邻域内收敛，它却不一定收敛于 x).因此，如果x)在点o0处具有各阶导数，则fx)的麦克劳林级数虽然能作出来，但这个 级数是否在某个区间内收敛，以及是否收敛于x)却需要进一步考察。 二、函数展开成幂级数 展开步骤： -2
高等数学教案 第十二章无穷级数 第一步求出fx)的各阶导数：f"(x,f"(x,·,f(x,·. 第二步求函数及其各阶导数在x=0处的值： fo,f'(0,f"(0,·,f0,· 第三步写出幂级数 f0+f0x+0x2+…+/90x+… 2 n 并求出收敛半径R. 第四步考察在区间(-R,R)内时是否R(x→0(n→∞). lim R()=limf( n-o(n+1)！ 是否为零.如果Rn(x)→0(no),则f孔x)在(-R,R)内有展开式 f)=f0+f0x+fX0x2++f0x+…←Rx<R. 2 n 例1将函数x=e展开成x的幂级数. 解所给函数的各阶导数为f(x=e(n=1,2,…,因此fo)=1(n=1,2,·.于是得 级数 1+x+x2+…x"+… 2 n! 它的收敛半径R=+oo. 对于任何有限的数x、5(5介于0与x之间)，有 +0reMr1 IR,(x)es (n+1)! +0,所以，mR,非0，从而有展开式 而imx e=1++22+a+(<<网. 例2将函数f孔x)=sinx展开成x的幂级数， 解因为fo(=sin(x+n:受n=1,2…以 所以f(o)顺序循环地取0,1,0，-1，…(n=0,1,2,3,,于是得级数 x蜀号+(r (2n-0+…, 它的收敛半径为R=+oo. 对于任何有限的数x、(5介于0与×之间)，有 3
高等数学教案 第十二章无穷级数 sinl+(n+1) R)= 2 (n+1)H x*s*1 (n+1)！ →0(n-→01. 因此得展开式 sinx=x-xx 35 …+(-1)-1x21 +…(-0<x<+00). (2n-1) e*=l+x+Ix 2+…x”+…(-0<x<+0) 21 n. 例3将函数孔x)=(1+x”展开成x的幂级数，其中m为任意常数。 解：x)的各阶导数为 f'x=m(1+xm-1, f"(x=m(m-11+xm-2, f(x)=m(m-1(m-2}.(m-n+1(1+xm, 所以f0)=1,f'0)=m,f"(0=m(m-1,,f(o)=mlm-1(m-2》.(m-n+1,… 于是得幂级数 1+mx+mm-Dx2++mm-0-:m-n+x"+. 21 n 可以证明 0+对yn=1+x+mm-Dr2+…+mm-l）:m-m+Dx"+…(←1<x<. 2 n 间接展开法： 例4将函数f孔x=cosx展开成x的幂级数. 解已知 sinx= 宝+室…+广…x 对上式两边求导得 COSx=1-x2x4 24到…+(-10”x20 (2+…(-0<x<+o). 例5将函数心)十文展开成x的幂级数 解因为=+++r+1<0, 把x换成-x,得 …4
高等数学教案 第十二章无穷级数 1+--2+r-+(-yx2+…←1x<1. 1 注：收敛半径的确定：由-1<-x2<1得-1<x<1. 例6将函数x=Hn(1+x)展开成x的幂级数. 解因为了中 而十x是收敛的等比级数2(-rx1ex的和函数 i=0 ,1=1-x+x2-x3+…+(-0”x"+… 1+x 所以将上式从0到x逐项积分，得 0功受+号客+心+…(ls到 解：na+W-+=1+x本 -空-rw-2-r1oe 上述展开式对x=1也成立，这是因为上式右端的幂级数当x=1时收敛，而(1+x)在 x=1处有定义且连续， 例7将函数sin×展开成(c-孕)的幂级数。 解因为 sm=sm肾+(x-孕9eos-孕+snx到. 并且有 cos-孕=l2x-孕+0x-孕-…（←-<<+w), 咖(x-孕=(c-孕-孕+x-罩5-（←<x<o), 所以 snx=+6-孕x-孕2--孕+(-<+w） 例8将函数)子+4+3展开成-1的幂级数 解因为 1 1 1 1-1 4*c++)20*920+90+牙81+ -号2-r2-r -5
高等数学教案 第十二章无穷级数 -2-r2品2a-ir←1kx<3到 n=0 提示： 1+x=2+6x-0=21+x2,3+x=4+6-)=40+) 卓n. 收敛域的确定：由-1k分<1和-1k分<1得-1x<3, 展开式小结： ,1=1+x+x2+…+x"+…(-1<x<), 1-x e=1+x+22+"+…(←0<x<4w, 211 (2n-…(←0<x<+o). snxx-刘+5TF92l 2nmt…（-0<r<+o）, cosx1+-+0, m+=-号-音+-rs0. 1+-1+mx+mm-Dx2+.+mm-）-:m=n+Dx+…-1Kx<D. 2! n -6-