高等数学教案 第十章重积分 第十章重积分 第一节二重积分的概念与性质 教学内容：二重积分的概念：二重积分的性质。 教学目标：理解二重积分的概念和性质，了解二重积分的儿何意义 教学重点：二重积分的性质 教学难点：二重积分的线性性，积分区域的可加性 教学方法：讲授 作业：课后习题 教学过程： 一、二重积分的概念 1.曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边 界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面2=f(x),这里f(x,)20且在D上 连续.这种立体叫做曲顶柱体.现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积」 首先，用一组曲线网把D分成n个小区域△o1,△o,···,△on 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶 柱体分为n个细曲顶柱体.在每个△o中任取一点(5，n),以f(5,7)为高而底为△o 的平顶柱体的体积为 f(5:,n）△o(i=l,2,···,n）. 这个平顶柱体体积之和V≈2f传，△a, i=1 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值.为求得曲顶柱体体积的精确值，将分割加密，只需 取极限，即 V=im2f传，)△a,:其中元是个小区域的直径中的最大值， 20= 2.平面薄片的质量.设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(x)处的面密度 为p(x),这里P(x,)>0且在D上连续.现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把D分成n个小区域△o,△o,···,△on. 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量：p(5,7)△o:· 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值：M≈之p5,)△a i=l 将分割加细，取极限，得到平面薄片的质量M=im∑p(5,7)△o: 元→01
高等数学教案 第十章重积分 其中元是个小区域的直径中的最大值. 定义设f(x)是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域△o, △σ2，··，△om,其中△o;表示第1个小区域，也表示它的面积.在每个△σ：上任取一点(5， 7,作和2fG)△o. 如果当各小闭区域的直径中的最大值入趋于零时，这和的极限 i=l 总存在，则称此极限为函数(x)在闭区域D上的二重积分，记作川/(x,y1o,即 jfc,o=lm2f5m△a →0=1 f(x,)叫作被积函数，f(x)do叫作被积表达式，do叫作面积元素，xy叫作积分变量，D 叫作积分区域，】 2f传，)△a,叫作积分和 直角坐标系中的面积元素： 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D那么除了包含边界点的一些小 闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域△σ，的边长为△x和△y,则 △o=△x△y,因此在直角坐标系中，有时也把面积元素do记作dxd,记作 ∬fox,yddy 其中dx叫做直角坐标系中的面积元素。 二重积分的存在性：当(x)在闭区域D上连续时，积分和的极限是存在的，也就是 说函数(x)在D上的二重积分必定存在，我们总假定函数f(x)在闭区域D上连续，所 以f(x,)在D上的二重积分都是存在的. 二重积分的几何意义：如果f(x)≥0，被积函数f(x)可解释为曲顶柱体的在点(x) 处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.如果(x)是负的，柱体就在xO 面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的. 二.二重积分的性质 性质1设G、②为常数，则 [cf(x.y)+czg(x.y)Ha=a[[f(x.y)do+cz [[g(x.ylda D 性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各 部分闭区域上的二重积分的和.例如D分为两个闭区域D与D,则 f(la=[f(.yyda+Sf(.yda. D, 性质3dG==ao为的面积 性质4如果在D上，f(x)≤g(x),则有 2
高等数学教案 第十章重积分 ∬fc,asfg(x,.o 特殊地有 If(x.y)dakf(y)da D D 性质5设从m分别是f(x)在闭区域D上的最大值和最小值，σ为D的面积，则有 ma≤[f(x.ydaSMa. 性质6（二重积分的中值定理）设函数f(x,)在闭区域D上连续，。为D的面积，则在 D上至少存在一点(5)使得 J[f(*.yldo-f(.na. w2