高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 第七节方向导数与梯度 教学内容：方向导数与梯度的概念及其计算方法。 教学目标：了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 教学重点：方向导数的概念及方向导数的计算。 教学难点：方向导数的概念及方向导数的计算。 教学方法：新课讲授法 作 业：p891,2,3,4,5,6,8. 教学过程 一、方向导数 1、方向导数的概念 回顾偏导数 现在我们米讨论函数z=x,)在一点P沿某一方向的变化率问题 设1是xOy平面上以P(xo,yo)为始点的一条射线，e=(cosa,cos)是与1同方向的单位向 量.射线1的参数方程为 x=xo+t cos a,y=yo+t cos B (f20). 设函数=x,)在点P(xo,yo)的某一邻域UP)内有定义，Pxo+t cos a,yo+tcos)为1上 另一点，且P∈U(Po).如果函数增量fxo+t cos a,yo+tcos)-fxo,o)与P到P的距离PPa=t 的比值 f(xo+icosa,yo+1cosB)-f(xo2 yo) t 当P沿着1趋于P(即1→)时的极限存在，则称此极限为函数x,)在点Po沿方向1的方 向导数，记作 即 81(xo.yo) lim f(xo+tcosa,yo+tcosB)-f(xo:Yo) llxo)1-→0 t 从方向导数的定义可知，方向导数 就是函数x,y)在点Po(xo,y%)处沿方向1的 al (xo-Yo) 变化率。 注：f(x+△x,yo+Ay)-f(xo,y%)
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 =f(x0yo)△x+f,(x00)△y+o(V(△x)2+(△y)2) A=t cosa,A=t cos B.(△x)2+(△y)2=t. 2、方向导数的计算： 定理如果函数=x,y)在点P(xo,o)可微分，那么函数在该点沿任一方向1的方向导 数都存在，且有 逆 (xoYo) =f(xo:yo)cosa+f(xo,yo)cosB, 其中cosa,cosB是方向1的方向余弦， 简要证明：设△x=t cos a,△y=t cos,则 Axo+icosa,yo+icosB)-Axo,yo)=f(xo,yo)tcosatf(xo,yo)tcosB+o(1). 所以 lim t→0 fxo+tcosa.o+tcsB)-foYo-(xoy)cos+f(xo.Yo)sin. 这就证明了方向导数的存在，且其值为 af 81 (xo.yo) =f(xo:Yo)cosa+f(xo:yo)cosB. 讨论：函数f(化，y)在点P沿x轴正向和负向，沿y轴正向和负向的方向导数如何？ 提示：沿x轴正向时，cosa1,cos-0,7- of of 沿x轴负向时，cosG-l,cos-0,7 =-过 沿y轴正向时，cosa=0,cosB1, of of al dy 沿y轴负向时，cosa=O,cos=-1, 对=_过 al ay 例1求函数z=x在点P(1,0)沿从点P1,0)到点Q2,-1)的方向的方向导数. 解这里方向1即响量尼=-0-)的方向，与同向的年位向量为。=（方方 因为函数可微分，且色 =e2y =2xe2y =2, Ex a.o) 1.0) dy (1.0) (1,0) 所以，所求方向导数为 -2
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 2 对于三元函数x,乃，z)来说，它在空间一点Po(xo,o,z0)沿e(cosa,cosB,cos》的方向 导数定义为 af lim f(xo+tcosa,yo+tcosB,zo+tcosy)-f(xo:Yo,Zo) all(xoo2)1→0 如果函数x,y,z)在点(co,oz0)可微分，则函数在该点沿着方向e-(cosa,cos阝，cos) 的方向导数为 1(oyo=0) (xo,yo,zo)cos(xo,yo,zo)cosB+(xo,yo,zo)cosy. 例2求x,y,z)=9+yz+2x在点(1,1,2)沿方向1的方向导数，其中1的方向角分别为60°， 45°，60° 解与1同向的单位向量为 o4e的-，号 因为函数可微分，且 f1,1,2)=0+21,1,2=3, f(1,1,2)=(x+z1,1,2=3, 1,1,2)=0+x).1=2, 所以 af 2 二、梯度 1、梯度的概念 设函数z=x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,yo)ED,都可 确定一个向量 (xo,yo)i(xo,yoli, 这向量称为函数fx,y)在点Po(xo,yo)的梯度，记作gradfxo,yo),即 grad Axo,yo)=(xo,yo)(xo,yoj. 2、梯度与方向导数的关系： -3
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 如果函数x,y)在点P(xo,yo)可微分，e=(cosa,cos)是与方向I同方向的单位向量，则 a(xoyo) =f(xo:yo)cosa+f(xo:yo)cosB, grad fxo,yo)er =grad fxo,yo)-cos(grad f(xo,yo),e). 这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系.特别，当向量 e与grad九o0的夹角=0，即沿梯度方向时，方向导数 取得最大值，这个最大值 81 (xo-o) 就是梯度的模grad fxo,.o.这就是说：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这 点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值. 讨论： 的最大值： al 结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致， 而它的模为方向导数的最大值 3、梯度与等值线的关系： 我们知道，一般说来二元函数x,)在儿何上表示一个曲面，这曲面被平面=c(c是常数) 所截得的曲线L的方程为 z=f(x,y) 2=C 这条曲线L在xO面上的投影是一条平面曲线L*,它在xO平面上的方程为 Ax,y)=c. 对于曲线L*上的一切点，已给函数的函数值都是c,所以我们称平面曲线L*为函数=f(化，y) 的等值线， 若f,f,不同时为零，则等值线x,y)=c上任一点P(x0,yo)处的一个单位法向量为 1 n= (f(xoo),f,(x0y%)》 (xo-Yo)+(xo-Yo) 这表明梯度grad(xo,o)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同，而沿这个方向的方向 导数斗就等于grad,o,于是 on gradf(o.yo 这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系.这说是说 -4
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 ：函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等 值线指向数值较高的等值线，梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数， 梯度概念可以推广到三元函数的情形.设函数x,八，z)在空间区域G内具有一阶连续偏 导数，则对于每一点P(x,yo,0)∈G,都可定出一个向量 f(x0y0,20)i+f(0,0,z0/j+f(xoyo,20)k 这向量称为函数x,,z)在点Po(xo,o,z0)的梯度，记为gradfxo,yo,2),即 grad fxo,yo zo)f(xo,yo,zo)i+(xo,yo,zo)(xo,yo,zo)k. 结论：三元函数的梯度也是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致， 而它的模为方向导数的最大值. 如果引进曲面 Ax,y,2)=c 为函数的等量面的概念，则可得函数x,y,z)在点Pxo,y0,0)的梯度的方向与过点P的等量 面x,y,z)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量 面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数， 例3求grad,1 x2+y2 解这里f(x,y) 1 x2+y2 因为 2x 过=-2y x(x2+y27’6x2+y27 所以 grad-1 2x 2y 2+y2= x2+y2y10x2+y2j. 例4设x,,z)=x2+y2+z2,求gradA1,-1,2). 解 grad(=(2x,2y,2z), 于是 grad1,-1,2)=(2,-2,4). 数量场与向量场：如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量)，则称 在这空间区域G内确定了一个数量场例如温度场、密度场等).一个数量场可用一个数量函 数M)来确定，如果与点M相对应的是一个向量F(M,则称在这空间区域G内确定了一个 向量场（例如力场、速度场等）.一个向量场可用一个向量函数F(0来确定，而 F(M)=P(M)i+O(M)j+R(M)k, 其中P(M0,QM0,R(M0是点M的数量函数， -5
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 利用场的概念，我们可以说向量函数grd)确定了一个向量场一梯度场，它是由数 量场M)产生的.通常称函数)为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场.必须注意， 任意一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场 例5试求数量场m所产生的梯度场，其中常数m>0, r=Vx2+y2+z2为原点0与点Mx,yz)间的距离。 解 0(")=-m=-m匹 ox r r2 0x r3 同理 寻9-%会9=臀 3， Oz r 从而 记e,=i+兰+k,它是与OM同方向的单位向最，则 gradm=-me er. r r2 上式右端在力学上可解释为，位于原点O而质量为m质点对位于点M而质量为1的质 点的引力.这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比，这引力 的方向由点M指向原点.因此数量场m的势场即梯度场grad”称为引力场，而函数”称 为引力势. 小结：给出了方向导数的概念、梯度及的概念，讨论了求方向导数的方法。 -6
