高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 第四节空间曲线及其方程 教学内容：空间曲线的一般方程，参数方程及空间曲线在坐标面上的投影 教学目标：介绍空间曲线的各种表示形式。第三、四节是为重积分、曲面积分作准备的，学 生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别 注意。 教学重点：1.空间曲线的一般表示形；2.空间曲线在坐标面上的投影 教学难点：空间曲线在坐标面上的投影 教学方法：引导，启发式 作业：P363,4,5,6,8 教学过程： 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线.设 F(xgz）=0和G(x乃，2)=0 是两个曲面方程，它们的交线为C因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程， 所以应满足方程组 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)-0 反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满 足方程组， 因此，曲线C可以用上述方程组来表示.上述方程组叫做空间曲线C的一般方程 例1 方程组 〔x2+y2表示怎样的曲线 2x+3z=6 解：方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面，其准线是xO少面上的圆，圆心 在原点Q半行为1.方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面，由于它的准线是 zOx面上的直线，因此它是一个平面.方程组就表示上述平面与圆柱面的交线： 例2 方程组 2=2-x2-y2 表示怎样的曲线 -+=( 解：方程组中第一个方程表示球心在坐标原点Q半行为a的上半球面.第二个方程表示 母线平行于z轴的圆柱面，它的准线是面上的圆，这圆的圆心在点（号0），半行为号 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线
高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 二、空间曲线的参数方程 空间曲线C的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将C上动点的坐标 x、人、z表示为参数t的函数 x=x(f) y=(t). 2=z(t) 当给定t仁时，就得到C上的一个点(：，，)；随着t的变动便得曲线C上的全部点.方 程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 例3如果空间一点M在圆柱面X+y=a上以角速度o绕z轴旋转，同时又以线速度ⅴ沿 平行于z轴的正方向上升（其中似ⅴ都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立 其参数方程 解：取时间t为参数.设当=0时，动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处.经过时间t,动 点由A运动到抓xgZ)·记M在xOy面上的投影为M,M的坐标为x上0.由于动点在圆 柱面上以角速度o绕z轴旋转，所以经过时间t,∠AOM=ot.从而 x=|av cos∠AOM=acoswt =|av sin∠AOM=asinot, 由于动点同时以线速度·沿平行于z轴的正方向上升，所以 z=MM=vt· 因此螺旋线的参数方程为 x=acosot y=asinot z=Vt 也可以用其他变量作参数；例如令任0t,则螺旋线的参数方程可写为 x=acos0 y=asin 2=b0 其中6台，而参数为0 *曲面的参数方程 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程，形如 x=x(s,t) y=y(s,t). Z=z(s,1) 例如空间曲线「 x=o(t) y=w() (a心t), z=()
高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 绕z轴旋转，所得旋转曲面的方程为 x=()P+()P cos0 y=()P+w(t)]sine (atB0≤2.…(4) z=o(0) 这是因为，固定一个t,得r上一点M(o(t),(t),o(t)),点M绕z轴旋转，得空间的一个 圆，该圆在平面2o(t)上，其半径为点M到z轴的距离V)P+[y)P,因此，固定t的方 程(4)就是该圆的参数方程.再令t在[a,]内变动，方程(4)便是旋转曲面的方程， 例如直线 y= z=2t 绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为 x=v1+12 cos0 y=v1+12sin0. 2=2t (上式消t和8得曲面的直角坐标方程为2+y2=1+)》 又如球面++z=a可看成zOx面上的半圆周 x=asin y=0 (0≤s z=acoso 绕z轴旋转所得，故球面方程为 x=asincos0 y=asin osin0(0≤sπ，0≤2π z=acos( 三、空间曲线在坐标面上的投影 以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面，投影柱面 与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线，或简称投影（类似地可以定义曲线 C在其它坐标面上的投影) 设空间曲线C的一般方程为 [F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=01 设方程组消去变量z后所得的方程 H(x)=0 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面 这是因为：一方面方程八x,)=0表示一个母线平行于z轴的柱面，另一方面方程八x
高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 )=0是由方程组消去变量z后所得的方程，因此当水、只、z满足方程组时，前两个数x、y 必定满足方程八x)=0,这就说明曲线C上的所有点都在方程八x)=O所表示的曲面上， 即曲线C在方程代x,)=O表示的柱面上.所以方程H代x,)=0表示的柱面就是曲线C关于 xOy面的投影柱面. 曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为 H(x,y)=0 1z=0 讨论：曲线C关于rOz面和zOx面的投影柱面的方程是什么曲线C在y0z面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么 例4已知两球面的方程为X+y+2=1,和X+(-1)+(21)2=1, 求它们的交线C在xy面上的投影方程 解 先将方程x+(-1)+(z-1)=1化为 X+y+Z-2-22=1 然后与方程++z=1相减得 件2=1 将2=1-y代入+/+z=1得 x+2y-2=0. 这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程.两球面的交线C在x0y面上的投影方程为 x2+2y2-2y=0 1z=0 例5求由上半球面z=√4-x2-y2和锥面2=√3x2+y2)所围成立体在x0y面上的投影 解：由方程z=4-x2-y2和z=V3x2+y2)消去z得到X+=1.这是一个母线平行于z轴 的圆柱面，容易看出，这恰好是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面，因此交线C 在xOy面上的投影曲线为 x2+y2=1 z=0 这是xOy面上的一个圆，于是所求立体在xOy面上的投影，就是该圆在xOy面上所围的部分： x+y≤1. 4