高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 第九章习题课 一、主要内容 1.二重极限：1imf(x,y)=A台对Vε>0当(x,y)→(xo,o)时 (x,y)→(0，ya)】 f(x,y)-A<ε. 2.二元函数连续性：若1imf(x,)=f(x,),则z=f(x,y)在(o,y)处 (x,y)+(xJ0) 连续。 3.导数：)=m+A)-f6 △x G,6)=mf0,+A)-f2 △0 △y 4.全微分：若△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)=A△xr+BAy+o(P) 其中A,B不依赖于△x,△y而只与x,y有关，p=√（△x)2+(△y)2，则称z=f(x,y)在 (x,y)处可微，全微分为=A△x+B△y 且有山=匹Ar+ zAy= oz dx+ 证州 5.多元复合函数求导法则 由u=(t)及v=y(t)与z=f(u,v)复合而成的复合函数z=f[(t),w(t)]的导数为 de oz du oz dy dt ou dt ov dt 由u=(x,y)及v=w(x,y)与z=f(u,v)复合而成的复合函数z=[(x,y),Ψ(x,y] 的偏导数为 Oz Oz Ou Oz Ov OzOz Ou Oz Ov Ox Ou ax Ov ax dy ou dy dv ay 6.隐函数的求导法则 方程F(x,y,z)=0确定的函数z=f(x,y)的偏导数为 Ox F.dy F
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 方程组的情形略。 7.空间曲线的切线及法平面和空间曲面的切平面与法线 曲线Tx=p(t),y=中(t),z=o(1)在点M(x,,z)处的切线方程为： x-x=y-出=3-0 p'(to)'(t)o'(t) 法平面方程为：p(t)(x-x)+'(t)y-yo)+⊙'(t。)(z-z)=0 曲面F(x,y,z)=0在点M(x,yo,z。)处的切平面方程为： F(xyo,20)(x-x)+F,(x,o,20)y-yo)+F(x,yo,20)(z-zo)=0 法线方程为： x-xo y-yo F(Xo>Yo,Zo)F(Xo,Yo,Zo)F(Xo:Yo2 Zo) 8.方向导数与梯度 函数z=(x,y)在点P(x,y)沿方向1的方向导数为： of of coso+ 其中p为x轴到方向1的转角. al ax y 函数z=(，)在点Px,)的梯度为：gradf(,)=i+) Ox dy 9.多元函数的极值 凡能使f(x,y)=0,f,(x,y)=0同时成立的点(xo,yo)称为函数z=f(x,y)的驻点。 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但是函数的驻点不一定是极值点。 函数z=∫(x,y)在点(x。,y。)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 f(xo,yo)=0,f (xo,yo)=0,f(xo,yo)=A,fv (xo,yo)=B,f (xo,yo)=C 则f(x,y)在(x。,y。)处是否取得极值的条件如下： (1)AC-B2>0时具有极值，且当A0时有极小值： (2)AC-B2<0时没有极值。 10.条件极值 条件极值是指函数z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0下的极值。求条件极值的方法有 两种：化为无条件极值和用拉格朗日乘数法
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 令F(x,y)=f(x,y)+元(x,y) 再解方程组 f(x,y)+1(x,y)=0 f(x,y)+(x,y)=0 (x,y)=0 由这方程组解出x,y及入，则其中x,y就是函数f(x,y)在附加条件下(x,y)=0的可 能极值点的坐标。 二、典型例题与习题选讲 4 例1求函数z= arcsin- 2 In- x2+y2 的定义域 4 解 在」 x2+y2 求x+21且x2+广≠0，即0≤2+y≤4：在 中要求4 arcsin x2+y2 x2+≤1且r2+y240, 中要求2 例2求极限lim Vy+1-1 (x,y)→0,0) Xy 解 lim Vxy+1-1 lim (y+0-1=1im。 11 x,y→0,0) ,=00xy(Vxy+1+1)x,=0.0o)Vy+1+12 例3证明lim y =0. (x,y)-→(0.0) vx+y2 证因为 y 5(x2+y2) x+y 00,取2e,就自 要使 Xy -0<￡成立，即lim =0 vx+y a=0.0Vx2+y2 ∂2z02z0z 例4求z=f(y,y)函数的 ax'axoy'av （f具有二阶连续偏导数). 解(1)令u=y,v=y,并将u,v依次编号为1,2，则
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 Ox =听=方水 +方+方， ?0西=f)=所‘麻=yf1 -本你赤 的号爱-号00-*心：告 dy =术+x听”+听2”： 等导宗号以+等密+公等+后寄 =x2f”+22”+f2” x2 向的方向导数， 解 先求切线斜率：方程 × =1两边对x求导，得 2x2y=0, ab dx dy b'x b 即或 k=dv dx ay a 法线斜率为 k'= 1 a 故内法线向量为 b 1=(-b,-a),e,=(- a ) √a2+b Va+b 又 82 2z √2 a b 故 02 b =) a）=V2(a2+b) va2+b2 b va2+b2 ab 厂例6在第一卦限内作椭球面，方+？+乏=1的切平面，使该切平面与三坐标面所围成 的四面体的体积最小.求这切平面的切点，并求此最小体积. 解设P(K,,2)椭球面上一点，令F2)=豆+ x2,y2.z2 侧糖球面在点Pxo,2)的法向量为{在20.2}=信京，2} 过P(xo,yo,z。)的切平面方程为： ÷-)+20-w+(e-）=0 即o'+o+=1 a2 b2 c2 b2 c 该切平面在x,y,z轴上的截距分别为 ,y=,z= Xo 切平面与三坐标轴所四面体的体积为 6 6x0y020
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 ++ 2 2 现求V在条件 0 =1下的最小值. a2 b2 令 ab'c2 G(x,o,2o)= +( +会+-) 6x0y020 a2b2c2 2入x0=0 6x2y%20 a2 a'b'c2 21y0=0 解方程组 GxoYoZo a'b2c2 21入20=0 2 6xy2 +公+分-1=0 a2 b2c2 a b C 得 X0= 弯切点华标为爱有时，产面与坐标销所周的四面体的体积最小，最小体积 多 √ abc. 2