高等数学教案 第七章微分方程 第八节常系数非齐次线性微分方程 教学内容：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 教学目标：熟练掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 教学重点：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 教学难点：不同情形下的特解的形式 教学方法：讲练结合 作业：P3471(1),(⑤)，(6)，(10)：2(2)，(4④)：3：6 教学过程： 一、相关定义： 定义： y”+py'+qy=f(x)(P,9为常数，f(x)≠0为已知函数)的方程称为二阶常 系数非齐次线性微分方程 当f(x)=0时，称方程y”+py'+qy=0为方程 y”+py'+qy=f(x)对应的齐次方程。 前面我们学过二阶非齐次线性微分方程解的结构定理，对应地它的二阶常系数非齐次 线性微分方程解的结构也有这样的定理： 定理2（二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构定理）如果函数V。是二阶非齐次线 性微分方程y”+py'+qy=f(x)的一个特解，函数y。是其对应的齐次线性微分方程 y”+py'+qy=0的通解，那么，函数y=yp十y。是非齐次线性微分方程 y”+py'+qy=∫(x)的通解。 二、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法： 关于二阶常系数非齐次线性微分方程 y”+py'+qy=f(x)(p,g为常数，f(x)≠0为已知函数) 根据定理2可知，其通解为y二y。+》。。前一讲已经介绍了对应的齐次方程求通解yc的方 法和公式，现在的问题是如何求特解p。根据自由项f(x)的结构，分为以下儿种类型： 1.f(x)=Pnm(x)ex，方程为：y”+py'+qy=Pm(x)e (2为常数)
高等数学教案 第七章微分方程 其中：Pn(x)为x的m次多项式：Pm(x)=amx"+am-xm-+…+ax+a0 解法步骤： 第一步：设yp=Q(x)e: 第二步：代入原方程，得：Q"(x)+(22+p)Q'(x)+(入+p+q)Q(x)=Pm(x) (*): 第三步：根据入是不是特征根，由下列方法求特解Yp: (1)当入不是特征根，即入2+p2+q≠0时，可设 Ox)=e(x)=bxm+bx++x+bo (bm,bnm-1…,b,b为待定系数)， 代入上述方程(*)，用待定系数法求出bn,b-,,b,b,即得一个特解：yp=Q(x)e“: (2)当元是特征单根，即22+p2+q=0,但22+p≠0时，可设 (x)=xe (x)=x(bxm+bxbx+bo (bn,bm-1,…,b,b为待定系数) 代入上述方程()，用待定系数法可求得原方程的一个特解：y。=Q(x)“: (3)当是特征重根，即22+p2+g=0且21+p=0时，可设 2(x)=x22n(x)=x2(bmxm+bm-xm-1+…+b,x+b。 (bm,bm-1,…,b,b为待定系数)， 代入上述方程()，同样用待定系数法可求得原方程的一个特解：y。=Q(x)“。 综上所述，二阶常系数非齐次线性微分方程y”+py'+q少=Pm(x):具 有 形 如 yp=xe (x)ek (2m(x)=bmxm+bm-xm-+…+bx+b是x的m次多项式)的特解，且 0 (不是特征根) k= 1 (入是特征单根)。 2(2是特征重根) 例1.求方程2y"+y'-y=3-2x的通解。 解：对应的齐次方程为2y”+y'-y=0,特征方程为2r2+r-1=0,解得特征根： 2
高等数学教案 第七章微分方程 万=-山片=)，所以齐次方程的通解为：上=C,e+C,e2。 又因为入=0不是特征根，而m=1,故设y,=Ax+B,代入原方程，得： -A=-2 -Ax+(A-B)=-2x+3,即： A=2 解得： A-B=3, B=-1 故y。=2x-1, 所以原方程的通解为：y=Ce+C,e2”+2x-1. 例2.求方程y”+y=3-2x的通解。 解：对应的齐次方程为y”+y'=0,特征方程为r2+r=0,解得特征根： 1=-1,52=0, 所以齐次方程的通解为：y=Ce+C2。 又因为元=0是特征单根，而m=1,故设y。=x(Ax+B),代入原方程，得： 即： 2A=2解得： A=-1 2A+B=3, B=5 故，=(-x+5)=-2+5x, 所以原方程的通解为：y=Ce-x2+5x+C2。 2.f(x)=Pm(x)e“cosr或f(x)=Pn(x)e sin,方程为： y"+py'+gy P (x)e cos Bx (I) y"+py'+qy P (x)e sin Bx (IⅡ) (其中：p,q,a,B为已知实数，Pn(x)为x的m次多项式) 解法步骤： 第一步： 设2=a+iB,则ex=ea+ar=er(Cos Bx+isin Bx): 第二步： 构造辅助方程 y"+py'+qy=P(x)eca (cos Br+isin Ar)=P(x)e (III) 根据定理2，可以证明方程(D的解的实部是方程（①的解，虚部是方程(）的解： 第三步： 用方法(I)求出方程(D的通解，就能得到方程（①或(）的通解， 例3.求方程y”-y'-2y=sinx的通解。 解：该微分方程对应的齐次方程为y”-y'-2y=0, 3
高等数学教案 第七章微分方程 其特征方程为r2-r-2=0,解得特征根为5=-1,5=2， 因此齐次方程的通解为：y。=C,e+C,e2r。 令元=i,构造辅助方程：y”-y'-2y=e (*) 因为入=i不是特征根，因此设方程(*)有一个特解为y*=Ax,代入方程 (*),得： -Ae-iMe-2Ae=e,即：(3-0A=-1,解之，得：A=-3-, 因而 10 y=-3e=3cosr-isin对= 3cosx+sinx cosx-3sinx 10 10 10 10 它的虚部就是原方程的一个特解：巧=cosr-3six 10 所以原方程的通解为：y=Ce+C,e2+cosr-3sinr 10 3.fd=f()+f5x) (f(x),f(x)不是同类函数)，方程为： y"+py'+gy=f(x)+f(x). 解法步骤： 第一步：求对应的齐次方程y”+py+qy=0的通解y。: 第二步：分别求出方程y”+py'+qy=∫(x)和方程y”+py'+9y=f(x)的 特解：y,y2: 并根据定理2，写出原方程的特解：y。=y+y2; 第三步：写出原方程的通解：y=y。+y。=y。+y+y;。 例4.求方程y”+2y'-3y=c0sx+x-1的通解。 解：该微分方程对应的齐次方程为y”+2y'-3y=0, 其特征方程为r2+2r-3=0,解得特征根为：5=-3,2=1， 因此，齐次方程的通解为：y。=Ce-3x+C3e"。 为了求原方程的一个特解，将原方程分解为：y”+2y'-3y=C0sx (①) y"+2y'-3y=x-1 ()
高等数学教案 第七章微分方程 求方程0的一个特解为：片=2cosr-sinx ；求方程()的一个特解为： 10 乃~+1 -3+g 因此，原方程有一个持解为：少，=y+巧=snr_Cosx_+ 10539 所以， 1 1 原方程的通解为：y=C,e3x+C2e+,sinx-二cosx- 11 105 3x+) 三、本节小结： 本节的主要内容是二阶常系数非齐次线性微分方程的定义与性质和三类二阶常系数非 齐次线性微分方程的解法
