高等数学教案 第四章不定积分 第四章 不定积分 第一节不定积分的概念与性质 教学内容：一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 教学目标：使学生理解原函数与不定积分的概念，熟练掌握基本积分表中所列公式，并能 进行一些简单的不定积分的计算， 教学重点：原函数与不定积分的概念，它们和导数的关系 教学难点：在微分公式的基础上，如何使用逆向运算求原函数. 教学方法：讲授 作业：P1901,2,5,7 教学过程： 一、原函数与不定积分的概念 定义1如果在区间1上，可导函数F(x)的导函数为x),即对任一x∈I,都有 F(x)=fx)或dFx)=x)d, 那么函数Fx)就称为x)(或x))在区间I上的原函数. 例如，因(sinx)'=cosx,故sinx是cosx的一个原函数. 又如当x∈(1，+0)时， [In(x+vx2-1)=- x2-1 故n(x+V2-是一1在区间L,+o内的原函数。 Vx2-1 1 提问：cosx和 还有其它原函数吗？ x2- 原函数存在定理如果函数x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x),使 对任一x∈I都有 F'(x)=fx): 1
高等数学教案 第四章不定积分 简单地说就是：连续函数一定有原函数. 两点说明： 第一，如果函数x)在区间I上有原函数Fx),那么x)就有无限多个原函数，Fx)+C都 是)的原函数，其中C是任意常数 第二，x)的任意两个原函数之间只差一个常数，即如果D(x)和Fx)都是x)的原函数，则 Φ(x)-F(x)=C(C为某个常数) 定义2在区间【上，函数x)的带有任意常数项的原函数称为x)(或x)本)在区间1 上的不定积分，记作 fd 其中记号∫称为积分号，x)称为被积函数，x)d称为被积表达式，x称为积分变量， 由此定义，如果Fx)是x)在区间I上的一个原函数，那么Fx)+C就是x)的不定积分 即 ∫fx)dk=Fx)+C. 因而不定积分f(x)d可以表示x)的任意一个原函数. 例1求∫x2k 解由于（学=，所以小h 3+C 解当x>0时，（血y= 片d=lnx+Cceo0y 当0时(-士-)-是 2k=ln←+c6c0, 合并上面两式，得到 C(0). 例3设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲 线的方程 2
高等数学教案 第四章不定积分 解设所求的曲线方程为y=x),按题设，曲线上任一点(，)处的切线斜率为y'=f '(x)=2x,即x)是2x的一个原函数.因为 [2xdx=x2+C, 故必有某个常数C使x)=x2+C,即曲线方程为y=x2+C.因所求曲线通过点(1,2)，故 2=1+C,C=1. 于是所求曲线方程为=x2+1. 积分曲线：函数x)的原函数的图形称为x)的积分曲线. 从不定积分的定义，即可知下述关系： /a=f,或=fe: 又由于Fx)是F(x)的原函数，所以 [F(x)dx=F(x)+C, 或记作 「dFx)=F(x)+C 由此可见，微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算，以记号∫表 示)是互逆的.当记号「与d连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。 二、基本积分表 (I)kd=kx+C(k是常数)， (2)小x“k=Lxw1+C, +1 (3)f片=iml+c, ④j+k=-arctanx+C, (Sf会本=acsx+C, (6)[cosxdx=sinx+C, (7)[(sinxdx=-cosx+C, (8eo=小ec2d=tanx+C, 9jn=小c2h=-coux4C, 3
高等数学教案 第四章不定积分 (10)secxtanxdx=secx+C, (11)[cscxcotdx=-cscx+C, (12)Je'dx=e"+C, (3)dC 例5片=小4C=2京+C 例6j2=小+C=号+c-号+c. 5+1 三、不定积分的性质 性质1设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则 L(x)+g(x)=[f()d+Jg(x)dx. iI[f()dx+[g(x)dxT=[[f(x)dxJ+[Jg(x)dxT=nx)+g(x). 性质2设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则 j对)=kjf)k. 例8求「W(x2-5)d. 解∫V(6x2-5)k=jx2-5xi)k -fxidx-f5xidx =Jxidx-5jxids 人2x3-5x+C 3 例9求少在 =d-3ja+3小-
高等数学教案 第四章不定积分 x-3x+3mlxl+-+C 例10求je-3cosx)dk. 解(e-3cosx)dk-∫e'dk-3∫cosxc e*-3sinx+C. 例1l求∫2*ed. preh=jar-Cgc=e In(2e) 1+h2+C. 例12jtan2xdk=jsec2x-I)dk=小sec2xd-∫k tanx-x+C. 例13小m号k=g-号a-cosw (-sin)+C. 例141d=4dk=4cotx+C. sincos sin2x 2
