高等数学教案 第一章函数与极限 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性 教学内容：连续函数的运算与初等函数的连续性 教学目标：通过本节的教学，使学生了解初等函数的连续性，掌握连续函数的运算规则及 其反函数与复合函数的连续性。 教学重点：反函数与复合函数的连续性以及连续函数的运算 教学难点：反函数与复合函数的连续性 教学方法：新课讲授法 作业：p691,3,4,6. 教学过程： 一、连续函数的和、积及商的连续性 定理1 设函数x)和g(x)在点xo连续，则函数 ±g,)g,f (当g()≠0时) g(x) 在点和也连续。 x)gx)连续性的证明： 因为x)和gx)在点xo连续，所以它们在点x0有定义，从而x)士g)在点0也有定义，再由 连续性和极限运算法则，有 lim[fx)±g(x]=lim f()±limg(x)=f(xo)±g(xo) x→ t)X →天 根据连续性的定义，x)±g()在点xo连续. 例1.sinx和cosx都在区间(-oo,+oo)内连续，故由定理3知tanx和cotx在它们的定义域内 是连续的， 三角函数sinx,cosx,secx,cscx,tanx,cotx在其有定义的区间内都是连续的. 二、反函数与复合函数的连续性 定理2如果函数x)在区间1上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数x=fy)也在 对应的区间I,=b=x)xeI;上单调增加（或单调减少）且连续。 证明（略）· 例2.由于)=sinx在区间[-受，]上单调增加且连续，所以它的反函数=-arcsinx在区间[-L
高等数学教案 第一章函数与极限 1]上也是单调增加且连续的. 同样，y=arccosx在区间[-l,1]上也是单调减少且连续；y=arctanx在区间(-oo,+oo)内单调增加 且连续-arccotx在区间(-o,+oo)内单调减少且连续， 总之，反三角函数arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它们的定义域内都是连续的. 定理3设函数y=几gx)]由函数y=w)与函数=gx)复合而成， 0(x,)cDg·若Iimg()=4,而函数=0在4连续，则 lim fg(x)]=lim f(u)=f(uo) 简要证明要证VE>0,30,当00,3>0,当u-uokn时，有(W)-uo)ke. 又g(x)→o(xxo),所以对上述P0,30,当0<r-x0<6时，有lg(x)-udk7. 从而[g(x)]-fuol<e. (2)定理的结论也可写成im几g(x]=九mg(】.求复合函数g]的极限时，函数符号f 与极限号可以交换次序 lim几u(x]=lim f(u)表明，在定理3的条件下，如果作代换=gx),那么求imf几g(x]就转化 → x→x心 为求lim f(u）,这里4o=limg(x). W xT 把定理5中的xxo换成x0,可得类似的定理. 例3.求li x-3 3x2-9 解：lim, x-3 x-3Vx2-9 /limx-3 V3x2-9 =6 提示： x-3 y=x2-9 是由y=m与M=-3复合而成的： x2-9 m二号石，函数y=6在点u=名连续=go lim x-31 6 定理4设函数)=[g(x]由函数y=u)与函数=gx)复合而成，U(x0)CDyg·若函数=gx)在点 x连续，函数y=w)在点o=g(xo)连续，则复合函数y=几4x)]在点xn也连续. 证明：因为o(x)在点xo连续，所以1im(x)=0o)=4o. 又y=w在点=o连续，所以lim[x)】=uo)=1oxo]. 2
高等数学教案 第一章函数与极限 这就证明了复合函数九x)]在点xo连续. 例4.讨论函数y=sin1的连续性 解：函数y=sin上是由y=sinu及u=L复合而成的. sinu当-o0,a≠1)对于一切实数x都有定义，且在区间(-0，+o)内是单调的和 连续的，它的值域为(0，+o). 由定理4，对数函数logx(a>0,a≠1)作为指数函数a的反函数在区间(0，+oo)内单调且连续. 幂函数y=x的定义域随的值而异，但无论4为何值，在区间(0，+0)内幂函数总是有定义的， 可以证明，在区间(0，+)内幂函数是连续的.事实上，设x>0,则 =x=a1oa,因此，幂函数x可看作是由=a,=ogx复合而成的，由此，根据定理6， 它在(0，+∞)内是连续的如果对于取各种不同值加以分别讨论，可以证明幂函数在它的定义 域内是连续的 结论：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的. 最后，根据初等函数的定义，由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论： 仁切初等函数在其定义区间内都是连续的 所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间. 初等函数的连续性在求函数极限中的应用： 如果x)是初等函数，且xo是x)的定义区间内的点， 则1imx)=fxo). 工→m 例5.求1im1-x2. 解：初等函数x)=1-x2在点=0是有定义的， 所以im√-x2=f=1. r-0
高等数学教案 第一章函数与极限 例6.求lim Insinx. →汽 解：初等函数x)nsinx在点=受是有定义的， 所以lim Insinx=nsin交=0. 2 例7.求1im+区-1 x-→0 解：lim+2L=lim+-M+文+D x>0x r+0 x(1+x2+1) =0=0. =0+ 例8.求1 im og+y 解：oe9-mog,0+=lg,e=d x x→0 例9.求1img x→0x 解：令a-1=,则x=loga(1+),x→0时1→0，于是 lim-1=lim t =Ina. x-0x10l0g1+)